解けるんでしょうか、中二の問題？

質問

△ＡＢＣにおいて、∠Ａ＝２０度、ＡＢ＝ＡＣで、
辺ＡＢ上にＥ、辺ＡＣ上にＤがあり、∠ＥＢＤ＝２０度、∠ＥＣＤ＝３０度
が条件です。求める角は、∠ＢＤＥになります。
　相似、三平方、円に関する定理等を使って解いてみましたが、
無理でした。何か見落としているのでしょうか？？？？

回答No.3

enomotok · ベストアンサー

ラングレーの問題（フランクリンの凧）ですね。

私のページではありませんが，
http://www.mitene.or.jp/~tomo-s/langley/langley10.html
に色々な解法が紹介されています。

お礼

すごく様々な解法があり、びっくりです。
ひとつの問題について解答はひとつだけれど、
解法はいろいろあるのは数学のおもしろさですね。
ありがとうございます。

回答No.5

aster

二等辺三角形ＡＢＣの底辺ＢＣの長さを１として、角ＥＤＢをｆ度、対角線ＤＢの長さをＬとすると、正弦定理から：

三角形ＥＤＢについて：

ｓｉｎ（ｆ）／１＝ｓｉｎ（１６０－ｆ）／Ｌ＝ｓｉｎ（７０－ｆ）／Ｌ

また、三角形ＢＤＣについて：

ｓｉｎ（４０）／１＝ｓｉｎ（８０）／Ｌ

Ｌ＝ｓｉｎ（８０）／ｓｉｎ（４０）　となり、

ｓｉｎ（ｆ）＝ｓｉｎ（７０－ｆ）／Ｌ　に代入すると、

ｓｉｎ（ｆ）＝ｓｉｎ（４０）＊ｓｉｎ（７０－ｆ）／ｓｉｎ（８０）

これは、一見したところで、ｆが、割り切れるような綺麗な数ではないことが分かります。

ｆ＝２６．６３度で、かなり、この式を満たすのですが、一致はしません。つまり、ｆはこの値に近いが、綺麗な数ではないということになります。

想定できることは、これは、問題が何か間違っているのではないかということです。

上の式が間違っていない限り、ｆ＝３０度はありえないことは確認できます。

回答No.4

noname#11476

ああ、よく考えるとだめですね。

すいません。さらに考えてみたのですが、Ｆ点をＡ，Ｂの中点ではなくて、
ＡＤ＝ＡＦとなる点にしてあげると、角度ＦＣＢは６０度になります。
で、ヨーク眺めてみると正三角形と二等辺三角形が山のようにできているようなので、これを利用すればできそうなのですが、タイムアップです。
多分、
二等辺三角形＝２辺が等しい、頂角がわかるとのこり２角はもとまる。
正三角形＝３辺が等しい。角度は当然６０度
を使うと解けそうです。

きちんと作図すると、線分ＦＣとＤＢの交点をＧとして、三角形ＦＤＧは正三角形になるところまではわかりました。
なので、ＤＥがどうやらその真中をとおっている、つまり角度ＦＤＥ＝ＧＤＥに見受けられます。
つまりそれを証明できれば角度が３０度と求まりそうです。

といって、、、、角度が本当に３０度なのかわかりませんけど、、、

時間切れです。
あとはどなたかにお願いします。

回答No.2

noname#11476

ちょっと考えただけだから間違っているかもしれませんけど、

三角形ＡＢＤは２等辺三角形ですよね。（角ＤＡＢ　＝　角ＤＢＡ）
ということは、Ｄから線分ＡＢに垂線を下ろし、交点をＦとすると、
ＡＦ＝ＦＢで長さは等しい。

で、問題の角度ｘは角ＦＤＢの一部ですね。
そうすると、
線ＦＥ：線ＥＢ＝（７０－ｘ）：ｘ
の関係がありますから、ＦＥとＥＢの比がわかればよいわけですよね。

そうすると角ＦＣＥと角ＥＣＢの比がわかればよいわけです。

まず角ＡＣＢ＝８０ですね。（ＡＢＣは二等辺三角形で角Ａは既知）
そして、角ＡＣＦ＝角ＦＣＢ＝４０がわかりますね。（点ＦはＡ，Ｂの中点）

さて、
角ＥＣＢ＝角ＡＣＢ－角ＥＣＤ＝５０
ですよね。

残り角ＦＣＥ＝角ＦＣＢ－角ＥＣＢ＝１０
よって、

線ＦＥ：線ＥＢ＝（７０－ｘ）：ｘ
は、
１０：５０＝（７０－ｘ）：ｘ
５０（７０－ｘ）＝１０ｘ
ｘ＝１７５／３

途中間違っているかもしれませんのでご確認ください。
（検算している時間がないので）

お礼

∠ＡＣＦ＝∠ＦＣＢ＝４０？
なるほど比例式を使うわけですね。

回答No.1

pancho

（途中経過です。）

作図上、点Ｅと点Ｄは一意に決まりますから、角度も一意に求まります。
ただ、中二の知識範囲で可能かどうか、これから考えてみます。

以上。