関数

質問

関数f(x)は次の条件を満たしている

0≦x＜1 のとき、f(x)=x^3
実数xに対してf(x＋1)=f(x)＋3x^3＋3x

このとき
f(x)＋f(-x)　は？

f(x)=f(x＋1)-3x^3-3x
まではわかります

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

0≦x＜1 のとき、f(x)=x^3
実数xに対してf(x+1)=f(x)+3x^3+3x ---- （これは、x＜0 , x≧1　の場合だけですよね）

＞f(x)+f(-x)　は？

0≦xの場合だけ考えます。

x=0 の場合は、

f(x)+f(-x)=0

0＜x＜1の場合は、そのまま代入して、

f(x)+f(-x)=x^3+f(1-x)-3(-x)^3-3(-x)
　　　　　=x^3+(1-x)^3+3x^3+3x
　　　　　=3x^+3x^2+1

x≧1の場合は、

x=n+a （nは正の整数、0≦a＜1）

とすると、
f(n+a)=f(n+a-1)+3(n+a-1)^3+3(n+a-1)

この式から、
f(n+a)=f(a)+Σ(3(i+a-1)^3+3(i+a-1)) (i=1・・・n)

また
f(x)=f(x+1)-3x^3-3x
であることから、
f(-n-a)=f(-n-a+1)-3(-n-a)^3-3(-n-a)
　　　　=f(-n-a+1)+3(n+a)^3+3(n+a)

この式から、
f(-n-a)=f(1-a)+Σ(3(i+a)^3+3(i+a)) (i=0・・・n)
ただし、a=0の場合は、
f(-n)=f(0)+Σ(3i^3+3i) (i=1・・・n)

あとは、
f(n+a)+f(-n-a)を計算すればOK

おおざっぱですがこんな感じですかね。