複素関数 零点 極

質問

n位の零点を持つ関数の形としてはf(z)=(z-a)^n*(任意の関数)しかないのでしょうか。
また、n位の極もf(z)=(z-a)^(-n)*(任意の関数)しかないのでしょうか。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>n位の零点を持つ関数の形としてはf(z)=(z-a)^n*(任意の関数)しかないのでしょうか。

f(z)をz=aの周りでテーラー展開したものはそのようになります。
ただ、形としては
(sin(z-a))^nとか(e^(z-a)-1)^nとかの形もありえます。

極の場合も同様。(テーラー展開→ローラン展開となりますが。)

お礼

お早い回答ありがとうございました。
他の形についても理解できました。

補足

f(z)が二つの多項式の積で表されて、z=aがn位の零点のときでも
f(z)=(z-a)^n*g(z)としてはいけないということでしょうか。

回答No.3

rnakamra

#1のものです。

#2の回答を見て気づきました。
"任意の関数"ではありませんね。
z=aが零点でも特異点でもない関数でなければおかしいですね。

失礼しました。

回答No.2

arrysthmia

言いたいことの定義を明確にすれば、
成立・不成立もハッキリしてくる。

「任意の関数」が z=a に零点や極を持ったら、
どうなりますか？