指数関数論

質問

目標は f(a,z)=a^z (a,z∈C) を完全に定義することです
1. a^0=1
2. n∈N ⇒ a^n=a^(n-1)*a
3. n∈N,a≠0 ⇒ a^(-n)=1/(a^n)
4. e^z=Σ[n=0～∞](z^n/n!)
5. Im(w)∈[0,2π) ⇒ ( w=Log(z) :⇔ z=e^w )
6. R>=0,Re(θ)=0 ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^mod(θ,2π))
　(偏角の拡張)
　* mod(θ,2π):=θ-2π*[θ/2π] とします
7. a^z=e^(z*Log(a))

とりあえず、ここでは、1価関数になるように
Logで主値を考えましたが、多価関数として扱えるように
することもできると思います

このような形で定義すれば、
完全に複素数の範囲で指数関数を定義した
ことになると思いますが、
どこか間違っている所、抜けてる所とかないでしょうか
4.の前に級数が収束することを示す必要がありますね．
5.で Im(w)∈[0,2π) を仮定した理由は
welldefindにする為です
だから、本当は
4. → 5.の間にe^zが単周期関数(周期2πi)で
あることを示す必要があります

後、知りたいことは、不連続点の分布です
わたし自身質問を把握しきれていないかもしれませんが
回答して補足してください　mm(_ _)mm

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

素人の戯言と思ってください。。。

＞5. Im(w)∈[0,2π) ⇒ ( w=Log(z) :⇔ z=e^w )
0=e^wを満たすwは存在せず、Log(0)は定義できません。

zが自然数である場合を除けば、a^zは、
＞7. a^z=e^(z*Log(a))
のように、Log(a)を用いて定義されているので、0^zが定義できていませんね。

ついでに、
a=-i,z=2,w=1/2とすると、
a^(zw)=a^1=a=-i
(a^z)^w=(e^(zLog(a)))^w=(e^(3πi))^w=(-1)^(1/2)=i
となるので、a^(zw)≠(a^z)^wである事から、普段使っている指数法則が成り立たなくなりますね。(Logが多価関数なら、成り立ちそうな気がしますが)

お礼

ありがとうございます.

＞5. Im(w)∈[0,2π) ⇒ ( w=Log(z) :⇔ z=e^w )
0=e^wを満たすwは存在せず、Log(0)は定義できません。
zが自然数である場合を除けば、a^zは、
＞7. a^z=e^(z*Log(a))
のように、Log(a)を用いて定義されているので、0^zが定義できていませんね。

仰るとおりだと思います．
正直、把握していませんでした^^;
これは、指数関数が値域をR(or C)で考えても
全射にならないことが原因だと思います!?

ついでに、
a=-i,z=2,w=1/2とすると、
a^(zw)=a^1=a=-i
(a^z)^w=(e^(zLog(a)))^w=(e^(3πi))^w=(-1)^(1/2)=i
となるので、a^(zw)≠(a^z)^wである事から、普段使っている指数法則が成り立たなくなりますね。

も仰るとおりだと思います
ですから、一般には、複素数まで拡張すると
指数法則が成り立たなくなる場合がでてくるんですよね!?
それで、成り立つ場合と成り立たない場合を
きっちり分けたいと思ってます

(Logが多価関数なら、成り立ちそうな気がしますが)

については、わたしも確認していないので、何とも言えませんが、
取った値全部の集合として、等しくなると解することになるのでしょうか？

余談ですが、わたしは、多価関数を考えるときに
一価関数のときは、C→Cの関数(写像)ですが
多価関数のときは、C→∪[n∈(N∪{ω})]C^nへの関数(写像)
(ω:可算濃度　i.e.高々可算個しか取らないまで対応)と捉えています
ですが、本当のところ、あまりよく理解していません^^;

回答No.4

eatern27

＞f(a,z)は{(a,z)|z∈C-N,a>0}で不連続になると理解してよろしいですか？

{(a,z)|z∈C-Z,a>0}
で不連続になります。

ついでに、(a,z)=(0,0)でも不連続ですね。
上記以外では、連続だと思います。

＞1. e^zが単周期関数であることの証明
e^(ix)=cosx+isinx
cos2π=1,sin2π=0
を既知とすれば、e^zが周期2πiの関数である事が証明できそうですね。

お礼

ありがとうございます.勉強させていただいてます

f(a,z)は{(a,z)|z∈C-N,a>0}∪{(0,0)}で不連続なんですが、
これは自分で言っておいてなんなんですが
f:C^2→Cと思って不連続なのか
fa:C→C,fa(z)=a^zと思って不連続なのかこんがらがってしまいました．
(この辺、位相数学から復習する必要アリと思います)
指数関数論をまとめる以上、この部分に関しても整理しなくてはなりませんよね!

e^zが単周期関数であることの証明についてですが
解析学序論という本によると
e^z:=Σ[n=0～∞](z^n/n!)
cos(z):=Σ[n=0～∞]((-z^2)^n/(2n!))
sin(z):=Σ[n=0～∞]((-z^2)^(n+1)/(2n+1)!)
と定義してオイラーの公式を導いてから
その次に
(e^(z+w)=e^z*e^w、加法定理から)
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1 を導いて
cosが単周期関数であることを示し
sinも単周期関数であるが分り
expも単周期関数であることを示すやり方が普通なんですね!
大体このような構成になっていたような気がします
ですが、できれば、三角関数を使わずにe^zが単周期関数で
あることを示せないかどうかも気になりました．
* 今度は cosθ が(単)周期関数であることの証明が必要ですね

回答No.3

eatern27

#2です。素人の戯言Part2

zを自然数以外の複素数に固定して、a^zをaの関数と見た場合、複素平面上で言えば、実軸の正の部分で上で部分で不連続になります。

xを実数、yを0＜y＜2πの実数、zを正数以外の複素数として、a=e^(x-iy)とおきましょう。

α=lim[y→+0]a=e^xとします。

Log(a)=Log(e^(x-iy))=x+(2π-y)i
となります。したがって、

a^z=e^(z*Log(a))=e^(z*x+z(2π-y)i)=α^z*e^(z(2π-y)i)→α^z*e^(2πzi) (y→+0)

zは整数ではないとしたので、e^(2πzi)≠1であり、a=e^xの点で、a^zが不連続である事がわかります。
xは任意の実数ですから、実軸の正の部分で不連続です。

＞取った値全部の集合として、等しくなると解することになるのでしょうか？
という事になると思います。

お礼

ありがとうございます.
わたしの不学が身にしみて思い知らされました
回答者様からは、
f(a,z)=a^zの不連続部分を教えていただけたと思います
f(a,z)は{(a,z)|z∈C-N,a>0}で不連続になると理解してよろしいですか？
∵　
　∀a∈C-R,∃1x∈R,∃1y∈(0,2π);a=e^(x-iy)
　このとき
　α:=lim[y→+0]a=e^x
　　(∵ e^zは収束半径無限大でマクローリン展開できるから
　　　　連続にもなる←級数論)
　一方
　Log(a)=Log(e^(x-iy))=x+(2π-y)i
　∴
　　a^z = e^(z*Log(a))
　　　　= e^(z*x+z(2π-y)i)
　　　　= α^z*e^(z(2π-y)i)
　　　　→α^z*e^(2πzi) (y→+0)

　∴(a^zが不連続を結論したいのですが・・・)
　　lim　

　* すみません、お礼と補足中途半端になってしまいました
　　後で、補足したいと思います　

また、指数関数について、以下を問題にしたいと思ってます
1. 定義域がどうなるか？
2. 連続部分、不連続部分がどうなるか？
3. 連続部分は全てC^∞クラスか？
4. 不連続部分の分類
　(孤立点か？ 内点でない稠密部分か？ 内点であるか？など)
5. 指数法則が成立する部分

関連問題
1. e^zが単周期関数であることの証明
　　(* π：=(基本周期)/(2i)の )

多価関数については、後ほどの問題にしたいと思います

回答No.1

masudaya

返事になっているかどうか分かりませんが
指数関数の定義であれば,

f(x＋y)＝f(x)f(y)
f(0)≠0
f(x)は連続

位でいいのではないでしょうか？

f(0)=f(0)^2
∴f(0)＝1,0
(もしf(0)＝0だと ∀x＝＞f(x)＝f(x)f(0)＝0となり
不毛になってしまいます.）

f((n+1))=f(n)*f(1)=f((n-1))*f(1)^2=・・・f(1)^(n+1)
f(0)=1=f(x-x)=f(x)f(-x) ∴f(-x)=1/(f(x))=f(x)^(-1)

このままいけば,有理数での定義ができて
あとは,関数f(x)が連続なので実数に拡張できます.

お礼

ありがとうございます.
関数方程式で定義するアイデアすごくいいと思います
これで、かなりの部分を定義できるような気がします
(少なくても(正数)^(実数)まではこれで十分だと思います)
ですが少し気になるところがあります
1. 底が一般的に複素数まで扱えるかどうか
2. 不連続になりそうな所についての扱いはでてこないか
3. 指数も複素数まで拡張できるかどうか
4. 底の範囲がCになるかCから{-a|a>=0}を除かなければいけないかよく分ってません

訂正とお詫び
質問文中の
> 6. R>=0,Re(θ)=0 ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^mod(θ,2π))を
> 6. R>=0,Re(θ)=0 ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^(i*mod(θ,2π)))
(*iが抜けてました)に訂正します
あと知りたいことは、指数法則についてどのような結論があるか　を追加させてください
あと、別の問題の回答
(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1296638)
ですが、マクローリーン展開 → マクローリン展開 に訂正です m(_ _)m

余談ですが
　e^zをf(z)=f'(z),f(0)=1となるfと定義することもできますね

補足

すみません、また訂正がありました
6. R>=0,Re(θ)=0 ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^(i*mod(θ,2π))))
を
6. R>=0,θ∈R ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^(i*mod(θ,2π))))
に訂正させてください
訂正前の Re(θ)=0 のReはR*eでなくθの実部という意味で使っていましたが、
よくよく考えたらIm(θ)=0にしなくてはならない所でした
即ち、虚部=0ということは実数であるということです
その他のReはR*eの意味で使っていると思います
(間違いがなければ)