極・特異点の求め方

質問

先日も同じようなことをお聞きしました
先日は、分母がexp(z)+1となっているときの極の考え方に関してご教授いただきました。
さて、今回はまた違った問題で躓いてしまっているのでお願いします。

すみませんが、以下の関数の極はひとつがz=1というのはわかるんですが、あとはexp(z)+1=0から導けると思うのですが考え方がよくわかりません。

　　　　1
∫-------------------dz
　 (a^z)(sinπz)

なお、積分範囲[c-i∞,c+i∞] *iは虚数単位
0<c<1とする。0<a,a≠0

極は、0<a<1と1<aで場合わけして考えればいいのはわかるのですが、
いまいちわかりません。
sinπz=0の場合に関しては迷うことなく、z=0というのはわかるのですが・・・

よろしくお願いします。

回答No.2

aquarius_hiro

ANo.1です。

a^z=0 にはならないので、極はないですよ。

例えば、e^{log a} = a なので、z=x+iyとおいて、

|a^z| = |e^{z log a}| = |e^{x log a}|・|e^{i y log a}| = e^{x log a}・√(cos^2(y log a) + sin^2(y log a))
= e^{x log a} =a^x > 0

と示すこともできます。

回答No.1

aquarius_hiro

sinπz = [exp(iπz)-exp(-iπz)]/(2i)

で定義されていますので、変形して、

sinπz = (1/2i) exp(-iπz) [exp(2iπz) - 1] =0

となるのは、2iπz = 2nπi のときということがわかります。
（nは整数）

つまり、z=n（整数）に極があります。

補足

ありがとうございます。

僕も質問してからも少し考えていたのですが、
a^z=0の場合には、極は考えなくてもいいのでしょうか？
たしかに、aは、積分領域内では生息のような気がしますが・・・