絶対値付き関数の問題

質問

関数f(x)＝｜x－１｜＋｜x＋２｜＋｜x－a｜は、a＝３の時に最小値□をとり、a=□（a=3ではない）ときも同じ最小値を取る。

この問題で最初の□はグラフを書いて５だとわかりました。しかし次の□が解説を読んでも全く理解できませんでした（答えは－４だと書かれています）。数学に詳しい方、基礎からの詳しい解説をお願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

f(x) = ｜x-p｜ + ｜x＋q｜ + ｜x-r｜ （p＜q＜r）
だと、p＜q＜r の部分がマズくて、係数の置き方が
ちゃんと一般的になっていません。

だから変になるんじゃないですかね？ よくわからんけど。

回答No.3

arrysthmia

f(x) = ｜x-p｜ + ｜x-q｜ + ｜x-r｜ ただし p＜q＜r
のグラフを考えて、最小値を求めてしまうと
見通しよいかも。
min = f(q) = r - p です。

p,q,r が 1,-2,a の場合は、a の大きさによって、
min = 1 - a (a＜-2 のとき)
min = 3 (-2＜a＜1 のとき)
min = a + 2 (1＜a のとき)
となる。

後は、a = 3 に対する min を決めて、
同じ min をとる a を探す。
ここでも、min を a の関数と見て
グラフを書くのが効く。

お礼

すみません。最小値は最小値がf(p) = q＋rでした。

補足

具体的にグラフを書くと分かりやすいですね！
自分は問題文と同じように、
f(x) = ｜x-p｜ + ｜x＋q｜ + ｜x-r｜ （p＜q＜r）として
解いてみたのですが、最小値がf(p) = q-rとなり、
その後も計算していくと、a=3の時、最小値５は求まるのですが、
もう一つのaが該当無で求められません。
私のグラフで求めると、
2<a,1≦a≦2の二つの場合で共に最小値がa＋２となってしまいます。

この場合、何がおかしなことになっているのでしょうか？
馬鹿で申し訳ないのですがよろしくお願いします。

回答No.2

ogakat2172

先ほどの回答に補足です。

１≦ａの場合はａ＝３が解となりますが，ａ≠３という条件がありますので(ａ＝３以外の解を求めるという問題だからです)あのような書き方をしてしまいました。

また，－２≦ａ≦１ではｘ＝ａで最小値が３となってしまうので題意を満たしません。

回答No.1

ogakat2172

絶対値の中の正負は，それぞれｘ＝１，－２，ａで変化します。
したがって，ａがどのような値をとるかでf(x)の最小値は変わってきます(グラフの形が変わるからです)。

具体的に１，－２という数字が出ているので，ａがそれぞれ
ａ≦－２，－２≦ａ≦１，１≦ａ
の場合，どのようなグラフになるか考えてみましょう。

ａ≦－２のときはｘ≦－２まで減少関数になりますから，
最小値はｘ＝－２でとることになります。
このとき，ａ≦ｘ≦－２では
f(x)＝－(ｘ－１)－(ｘ＋２)＋(ｘ－ａ)＝－ｘ－ａ－１
ですから，最小値は
f(－２)＝１－ａ
となります。これを５だとすると，
１－ａ＝５
なので
ａ＝－４(ａ≦－２を満たします)
となります。

これで答えは得られますが，－２≦ａ≦１，１≦ａの場合もそれぞれ同じようにしてご自身で解いてみてください。
これらの場合は，ａの値が出ても－２≦ａ≦１，１≦ａを満たさないことがわかります。

私自身非力でかえって理解しづらい回答になってしまいましたが，少しでもお力になれたなら幸いです。
勉強がんばってくださいね。

お礼

色々教えていただいてありがとうございます。