二次関数の問題

質問

こんにちは。私は現在高校一年生です。学校の夏期講習で出された問題なのですが

学校の先生に聞いても、塾の先生に聞いてもよく理解できませんでした。

問題は下記の通りです。

aを正の実数とする。関数f (x)＝｜ｘ－３a｜（ｘ－a）　※｜　　｜←絶対値記号です。

について、０＜a≦１のとき、ｆ（ｘ）の　０≦ｘ≦２における最大値と最小値、およびそれらを与える

ｘの値を求めよ。

というものです。　どんなに考えてもまったく分かりません。
どなたか解説お願いします。非常に恐縮なのですがグラフの図を添付頂けるとありがたいです。

回答No.6

eco1900 · ベストアンサー

【図3】を参照してください。

今後は、定義域（xの変域）の右端の２が3aよりも更に右に存在するときを考えます。
（手短に言えば・・・２が3aよりも大きいということですね^^）
・・・が、この場合はちょっと気を付けなければなりません。

というのは、「２が3aよりも大きい」と考えると、場面によっては頂点を同じ値を取るシーンがあるから・・・ということです。

だから、この場合は慎重に・・・
→再度、頂点を同じ時のシーンのx値を調べておきましょう^^A。
（図の桃色矢印で示した点を参照→このx座標は、グラフの式から計算によって算出）
→するとx=（2+√2）aとなりますね^^。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

図まで載せていただきありがとうございました。
場合わけの仕方が分かりました。

回答No.8

eco1900

【図5】を参照してください。

ということで・・・
(1)場面では
→最大値f(2a)=a^2、最小値f(0)=－3a^2
(2)場面では
　→最大値f(2)=(2－3a)(2－a)、最小値f(0)＝－3a^2

おしまい＾＾。長くなってしまってすいませんでした。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

図まで載せていただきありがとうございました。

回答No.7

eco1900

【図4】を参照してください。（＊図3の黄色範囲の拡大図です）

従って、「定義域（xの変域）である右端２が・・・
丁度・・・
→(1)「3aから（2+√2）a」の間にあるかも知れないし
（つまり、3a≦２≦（2+√2）a→これを簡単にして、2－√2≦a≦2/3　(1)）
→(2)「（2+√2）aよりも大きい」かも知れない
（つまり、（2+√2）a≦２→これを簡単にして、a≦2－√2→初めの条件と合わせると結局0≦a≦2－√2　(2)）

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

図まで載せていただきありがとうございます。

回答No.5

eco1900

【図2】を参照してください。

次に、定義域（xの変域）の右端の２がどの辺りかな？
恐らくここに悩んでいると感じました^^A。（黄緑色の線を参照）

０≦a≦１から・・・辺々２を掛けると「０≦2a≦２」。
・・・つまり、少なくとも2aよりも２の方が右に存在しますね^^v。

でも、２が3aよりも大きくなるかどうか？は今のところ分かりませんね。
（→こちらも上と同じように辺々３を掛けてみても意味がありませんから）

となると・・・取りあえず定義域の右端に当たる２が2aと3aの間に存在しているとして解答を進めます。
（このことを条件的に「0≦x≦2でも2a≦２≦3a→つまり2/3≦a≦1の場合」ですね。

グラフより、最大値となるのは、頂点と場合ですね^^。
同じようにして、最小値はx=0の時ですね^^。

以上より、2/3≦a≦１では、最大値f(2a)=a^2、最小値f(0)=-3a^2

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

図まで載せていただきありがとうございました。

回答No.4

eco1900

【図1】を参照してください。

これはグラフ概形ですが・・・こちらの方は大丈夫でしょうか^^A？

x軸との交点（赤い目盛）の内、2aは軸を表しています。
→これはわざわざ式を変形しなくても・・・
（二次関数は放物線でグラフの対称性から）
→グラフとx軸との交点であるa, 3aの中点になるよね。
（頂点のy座標は、計算によって出します）

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.3

info22_

>非常に恐縮なのですがグラフの図を添付頂けるとありがたいです
グラフは4通り描かないといけませんのでここでは載せられません。

そこで絶対値をはずしたグラフの方程式を書いておきますので自身でお描き下さい。

グラフの方程式は
x<3で f(x)=-(x-3a)(x-a)
x>=3でf(x)=(x-3a)(x-a)
となります。

a（0<a<=1)について以下の4つの場合について場合分けして考えると良いでしょう。
次のaの4つの場合についてグラフを描いてください。

各場合のMax,Minを書いておきますので
良く考えてグラフから正しいかどうか、グラフ上で確認してください。

0<a<2-√2の場合
　Max=f(2),Min=f(0)
a=2-√2の場合
　Max=f(2)=f(2a),Min=f(0)
2-√2<a<1の場合
　Max=f(2a),Min=f(0)
a=1の場合
　Max=f(2),Min=f(0)

各場合のMax,Minの値はf(x)から計算してください。

お礼

解答ありがとうございます。
グラフ描いてみますね。

回答No.2

alice_44

2a は、2 より左にくる。
3a が 2 より右かどうかは、場合分けが要る。
そゆことを考えるために、図を書くのでは？

お礼

まさにそうです。
が、どのように場合わけすればよいのかよく分からなかったもので
書けませんでした；；

回答No.1

alice_44

f(x) の値は、±(x-3a)(x-a) のうち、(x-a) と正負が一致するほうをとる。
y = f(x) が x 軸と交わる x = a, 3a と、放物線の軸がある x = 2a を、
x の変域の端である 0, 2 と比較しておく。

連続関数の最大値最小値は、極値と境界値のどれかだから、
極値と境界値のを書き出して、比較すれば、最大値最小値は判る。

お礼

解答ありがとうございました。

補足

グラフでなぜ２が２aと３aの間に位置するのでしょうか？