公務員試験 数的処理

質問

問題
２％の食塩水が１００ｇ、３％の食塩水が２００ｇ、５％の食塩水が３００ｇある。これらの食塩水を混ぜ合わせて４％の食塩水４００ｇを作りたい。３％の食塩巣の使用量がもっとも少ないときの５％の食塩水の使用量は？

解答　２５０ｇ

自分の回答
天秤を作ってみると（天秤の上のは濃度　下は食塩水の量）

　２　　３　 ４　 ５
　|______|_____|______|
　　　　　　400g
となり天秤の上の数の間の差は
２と４の間の差は２
３と４の間の差は１
５と４の間の差は１
となり使用量はその逆比より

２　　３　 ４　 ５
|______|_____|______|
ｎ ２ｎ 400g　　２ｎ
となり400=n+2n+2n　よりn=８０
よって２n=１６０ｇ？

問題文から３％と５％の使用量が同じになっていしまい答えが違うのはわかっていたのですが自分の考え方の何が違っているのでしょうか？
また解答では２％５％と３％５％をそれぞれ混ぜて、４％の食塩水を作ってから足し合わせるという方法でしたのですが一気に解く方法はあるのでしょうか？

回答No.1

stomachman

何が間違っているかと言えば、何より「3%の食塩水の使用量が最も少ないとき」という条件が全く考慮されていない、という点でしょう。「天秤」ってのが何のことかは知りませんけど、間違った答が出るんじゃしょうがないですね。（もしかすると、算数の問題をパターンの暗記でなんとかしよう、というやり方はこういうところで馬脚を現す、ってことかも。）

落ち着いて常識的に考えりゃ、どうということはありません。

(1) 4%の食塩水を作るのに、4%より薄い食塩水が2種類と、4%より濃い食塩水1種類を使う。 ということは、4%より濃い食塩水1種類を、4%より薄い食塩水のどちらかまたは両方で薄めるしかない、ということだ。

(2) 3%の食塩水の使用量を最小にするということは、5%の食塩水を薄めるのにできるだけ2%の食塩水を使い、どうしても足りなければしょうがないから3%の食塩水も使う、ということだ。

と、この2点を認識することが重要。常識的でしょ？でもご質問の解法を拝見すると、少なくとも(2)を認識なさっていなかったことは明らかです。

(3) そこで、3%の食塩水には手を付けず、まず2%の食塩水だけを100g全部使って4%の食塩水がどれだけ作れるかを計算しよう。（それがもし400g以上であれば、3%の食塩水は使わなくて済むとわかる。）この時に使う5％の食塩水の質量をxとすると
0.02×100+0.05x = 0.04(100+x)
という式が立つ。（なおこの式は、2%の食塩水に含まれる食塩の質量(0.02×100)と5%の食塩水に含まれる食塩の質量(0.05x)との和が、混ぜて出来る食塩水に含まれる食塩の質量(0.04(100+x)）と等しいということを意味している。）
　これを解くと
x=200
である。なので、4%の食塩水は
100+x=300
グラム得られることになる。
　さて、5%の食塩水は300gあるから、x=200g使ってもまだ100g余る。だから、2%の食塩水100gと5%の食塩水200gを使って4%の食塩水300gを作ることは確かに実行可能である。（この確認を省いちゃいけません。）

(4) 2%の食塩水を使い切って作った4%の食塩水は300gで、これは目標の400gに足りない。そこで、温存しておいた3%の食塩水を使って5%の食塩水を薄め、4%の食塩水をあと100g作る。
　これに使う5%の食塩水の質量をpとすると、3%の食塩水は(100-p)グラム使う。なので、
0.03(100-p)+0.05p = 0.04×100
である。（なおこの式は、3%の食塩水に含まれる食塩の質量(0.03(100-p))と5%の食塩水に含まれる食塩の質量(0.05p)との和が、混ぜて出来る食塩水に含まれる食塩の質量(0.04×100）と等しいということを意味している。）
この一次方程式を解いて
p=50
を得る。つまり、3%の食塩水と5%の食塩水を50gずつ使うのだ。
　さて、3%の食塩水は200g、5%の食塩水は100gあるのだから、3%の食塩水と5%の食塩水を50gずつ使って4%の食塩水100gを作ることは確かに実行可能である。（この確認を省いちゃいけません。）

(5) 結局、5%の食塩水は都合
x+p = 200+50
グラム使った。

> 一気に解く方法は

　あります。が、上記の算数よりもずっと難しくなります。
　3%の食塩水の質量をa、2%の食塩水の質量をb、5%の食塩水の質量を400-(a+b)とし、これらを混ぜて4%の食塩水400gを作るので、
0.03a+0.02b + 0.05(400-(a+b)) = 0.04×400
である。この式を整理すると問題は、

2a+3b = 400
0≦a
a≦200
0≦b
b≦100
0≦400-(a+b)
400-(a+b)≦300
という条件下でaを最小にせよ

という線形計画法(linear programming)の問題に帰着します。あとは機械的な計算で答が出るんですよ。

お礼

夜遅くの回答ありがとうございます

算数を型にはめてやろうと思っているとだめというのをおもいしらされました。