二次元流 土質力学

質問

座標A点(0,600m)B点(750m,600m)C点(0,0)D点(750m,0)で,標高と地下水面の深さがA点(42m,3m)B点(55m,6m)C点(36m,1m)D点(52m,7m)の四箇所で囲まれる市街地について、ABCDで囲まれる領域の地下水流の方向と、ADを結ぶ線分の地下断面を1分間に通過する地下水量が求められません。
地盤は暑さ15mの均一な砂層でその下には不透水層が広がっていて、透水係数k=0.2cm/s、乾燥密度ρd=1.92g/cm3、土粒子密度ρs=2.4g/cm3、地下水面の深さは一定です。
土質力学得意の方よろしくお願いします。

回答No.1

Akira_Oji · ベストアンサー

他の方からの回答がないようですので、全くの素人ですが、ちょっと努力をしてみたいと思います。ただし、間違いがあるかと、思います。

まず、与えられたデータを書き込むために、ｘ－ｙ座標軸に適当に目盛を打ちます。１目盛が１００ｍ（あるいは５０ｍ）がいいかと思います。点A,B,C,Dを座標上にとると、横長の長方形になります。つぎに標高と地下水面の深さを各点に書き込みます。さらに、標高から地下水面の深さを引いた値を計算して各点に書き込みます。それらの値は
A：３９ｍ
B：４９ｍ
C：３５ｍ
D：４５ｍ
となっています。これは各点の「水頭（地下水面）」の標高を表しています。
問題文には、”地下水面の深さは一定です。”とありますが、これは与えられたデータとつじつまが合っていません。

「水頭（地下水面）」の標高の差は、
ABで１０ｍ
CDで１０ｍ
ACで４ｍ
BDで４ｍ
ですから、「水頭（地下水面）」は平面がBからCに傾いた状態になっています。
ACとBDを４等分して、それらの等分点に水頭の標高を記入してください。
CからAに向かっては３つの等分点には、３６ｍ、３７ｍ、３８ｍが記入されます。
また、DからBに向かっては、４６ｍ、４７ｍ、４８ｍとなります。
ABとCDを１０等分してください。
CからDに向かっては３６ｍ、３７ｍ、３８m、３９m、４０m、４１ｍ、４２ｍ、４３ｍ、４４ｍを記入。
AからBに向かっては４０m、４１m、４２m、４３m、４４m、４５ｍ、４６ｍ、４７ｍ、４８ｍを記入してください。
そうすると、水頭の標高の「等高線」を描くことができますね。例えば、Aからは右下に向かってCDの第４等分点（３９ｍ）への直線。例えば、Dからは左上に向かってABの第６等分点（４５ｍ）への直線。あとはそれらに平行に各等分点から「等高線」を引いてください。

Webでちょっと調べますと、例えば
http://www.con-pro.net/readings/soil/chapter03-01.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%8F%E6%B0%B4%E6%80%A7

によれば、Darcyの法則というものがあり、単位時間あたりの透水量Qは
Q=Av
A：断面積、ｖ：見かけの浸透流速、

ｖ＝ｋi
k：透水係数、i：動水勾配

i=h/L
ｈ：２点の水頭の標高差、L：２点の水頭の水平距離

となっています。
「ABCDで囲まれる領域の地下水流の方向」は「水頭の等高線」に直角の方向ですから、左下向き（BからC)ですが、ベクトル的に書けば、
（－６００、－３００）あるいは（－２、－１）の方向です。あるいは単位ベクトルにしたければ、（－２/√５、－１/√５）の方向です。

「ADを結ぶ線分の地下断面を1分間に通過する地下水量」を求めるには少し疑問点があります。
まず、「動水勾配」を求めましょう。点Bから出発するとして、（－６００、－３００）の方向ですから比例を使って（－７５０、－３７５）の方向ですが、Bからそれだけ行くと、AC上のCから第１等分点と第２等分点のちょうど間にきますから、その点Pでの「水頭の標高」は「３６．５ｍ」。A点での「水頭の標高」は「４９ｍ」でしたから、これら２点の「水頭の標高差」は４９．０－３６．５＝１２．５ｍ。２点BとPの水平距離は三平方の公式を使って、√（７５０＾２＋３７５＾２）は約８３８．５ｍ。

「動水勾配」
i＝ｈ/L＝12.5m/838.5m＝０．０１４９。

「見かけの浸透流速」
ｖ＝ｋi＝０．２（ｃｍ/ｓ）＊０．０１４９＝０．００２９８ｃｍ/ｓ。約０．００３ｃｍ/ｓ＝０．１８ｃｍ/分

「断面積」がはっきりしないのです。「地盤は暑さ15mの均一な砂層でその下には不透水層が広がっていて」と書かれていますが、どのように測っているのかが分からないのです。地盤は傾いているのか。「地下水面の深さは一定です」と書かれていますが、地下水面が傾いているので地下水が流れていると思うのですが。

断面積を「仮に」１５ｍ＊「ADの長さ」とすれば、AD=√（７５０＾２＋６００＾２）＝約９６０ｍで、断面積は１４４００ｍ２。流速方向と断面の法線方向が一致していないので、この角度のCosをかけておかなければいけません。断面の法線方向の単位ベクトルは（４/√41,　5/√41)、流速方向の単位ベクトルは（２/√５,１/√５)から、この角度のCosは０．８９７。約０．９として。

「ADを結ぶ線分の地下断面を1分間に通過する地下水量」は
「見かけの浸透流速」＊「断面積」＊０．９
＝（０．１８ｃｍ/分）＊（１４４００ｍ２）＊０．９
＝約２３．３ｍ３/分。

毎分約２３トン

お礼

Akira_Oji様
とても分りやすいご回答ありがとうございます。「流線はエネルギー線に垂直な方向」というのが鍵なのですね。
それから僕の説明に不備があったことをお詫び申し上げます。まず、地下水面は一定と言うところですが、各点で地下水面の深さは時間的に変化しないと言う仮定でした。申し訳ございません。
また断面積についてですが15m×ADの長さです。
丁寧に回答して頂いて本当にありがとうございました。