対角線の長さと高さ？

質問

Ａ点からＢ点へ１４．３６ｍ（以下　点とｍを省く）、ＢからＣへ２０．９９、ＣからＤへ１４．３８、ＤからＡへ２０．８０、対角線ＢからＤへ２５．２３９、高さＣからＢ～Ｄへ垂直に１１．９５７、高さＡからＢ～Ｄへ垂直に１１．８４の四角形です。
この数字でＡ点からＣ点への対角線の長さとＢ点からＡ～Ｃへの高さとＤ点からＡ～Ｃへの高さを求めたいのですがお願いします。
三角形Ａ－Ｂ－Ｄの面積は１４９．４１m2
三角形Ｂ－Ｃ－Ｄの面積は１５０．８９m2

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

単位は全てmとします.
AB=a=14.36
BC=b=20.99
CD=c=14.38
DA=d=20.80
BD=y=25.239
AC=x=(求める長さ)
また, ∠ABD=α, ∠CBD=β とします.

方針としては, △ABDで余弦定理よりcosαを求め, (sinαも分かる．)
△BCDで同様にcosβを求め, (sinβも分かる．)
加法定理により，cos∠ABC=cos(α＋β)が求まるので，
△ABCで余弦定理よりACを求める，という寸法です．

△ABDで余弦定理より
cosα=(a^2+y^2-d^2)/2ay=0.566418908
sinα=√{1-(cosα)^2}=0.824117479
△BCDで同様に
cosβ=(b^2+y^2-c^2)/2by=0.821874014
sinβ=0.569669293
加法定理により，
cos∠ABC=cos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-3.94944046×10^(-3)
（この辺は誤差のため，下位の方はあまり信用できませんが，丸めずに進みます．）
△ABCで余弦定理より
AC^2=a^2+b^2-2abcos(α+β)=649.1705523
AC=25.47882557
すると
AC=25.48ｍ
となります．
なお，∠CDBと∠ADBを使って同様に計算すると，
AC^2=649.1705522　となり(計算誤差でしょう)，平方根を出すと　AC=25.47882557　で，一致します．

残りは，ヘロンの公式で面積を出して，△ABC＝Bからの高さ*AC／２　とするか，
△ABCで余弦定理より，cos∠BAC→sin∠BAC　とやって
Bからの高さ=ABsin∠BAC　で求めるなりしてはどうでしょう．
もちろんごく初等的に他の方法でも出せますが，値がきれいでないので，いずれにしても面倒ですね．

お礼

境界変更の面積計算で困っていました。
お蔭様で納得できました。
細かく計算していただき本当にありがとうございました。
感謝しています。