４変数方程式が解けなくて困っています！！

質問

以下の方程式が解けなくて困っています。
w1,w2...の正確な値を出すのでは無く、w4/w1, w3/w2, w2/w3, w1/w4
の比を求めたいのですが、式変形すると土壷にはまっていってます。
ヒントだけでもよろしいのでお願いします！！

w1 = -a(30w2 - 18w3)
w2 = a/2(w1 - w4)
w3 = -a/3(5w1 - 3w4)
w4 = a(60w2 -30w3)

※w1, w2は、全て数字が下付きの異なる変数です。

回答No.14

noname#101087

info22 さんにならって、これだけに専念してみました。
　　　　　　　　　　　　　↓
>w4/w1, w3/w2, w2/w3, w1/w4 の比を求めたい ......
>w1 = -a(30w2 - 18w3)
>w2 = a/2(w1 - w4)
>w3 = -a/3(5w1 - 3w4)
>w4 = a(60w2 - 30w3)

w1/w4 = p, w2/w3 = q とおけば、
　p = -(30q - 18)/(60q - 30)
　q = -(3/2)(p - 1)/(5p - 3)
このペアから p の 2 次方程式を作ってみると？
　80p^2 - 15p - 33 = 0
これなら、実根があります。

出題者さま、お試しを。

回答No.13

info22

#1,#6,#8です。
A#6,A#8のやり方は合っていると思いますが、計算途中で計算ミスをしていますので無視してください。改めてやり直した計算を以下に整理して書きなおします。

やり方）
4つの方程式の内、下の３つの方程式をw1,w2,w3について解き、aとw4で表します。
w1=(60a^2+1)w4/(80a^2), w2=-(20a^2-1)w4/(160a),
w3=-(12a^2+1)w4/(48a) …(◆)
これらを最初の方程式に代入して整理すると次式が出てきます。
(60a^4+105a^2+1)w4=0　…(●)
ここで、w4=0の場合は、(◆)から w1=w2=w3=0と自明な解が得られます。
自明な解の場合を除外すれば、
　 60a^4+105a^2+1=0 …(▲)
このaについて方程式の4つの解は全て純虚数になります。

したがって aが実数という制限をすれば、連立方程式の解は自明解だけになって、w1/w4,w2/w3,w3/w2,w4/w1は求めることが不可能になってしまいます。

aが複素数でも良いことにすれば、(▲)の解は
　a=±√(105-√10785) i/(2√30)、±√(105+√10785) i/(2√30)
となります。a^2を求めておくと
　a^2=-(105±√10785)/120　…(▼)
この　a　に対して(●)の式からw4は自由に選べ任意の値を取ることできます。w4が決まれば（◆）からw1,w2,w3も決まります。言い換えれば、4つの方程式で一次独立な式は３つだけということを意味します（連立方程式のいわゆる自由度１の不定形の場合に該当）。

(▼)a^2を（◆）に代入してやることで
w1/w4,w2/w3,w3/w2,w4/w1
が求められます。
a^2=-(105-√10785)/120の場合は
w1/w4=-(3/4)*(√10785-103)/(105-√10785)
w4/w1=　(上の逆数)
w2/w3=(1/2)(√10785-111)/(√10785-95)
w3/w2=　(上の逆数)
また
a^2=-(105+√10785)/120の場合は
w1/w4=(3/4)*(√10785+103)/(105+√10785)
w4/w1=　(上の逆数)
w2/w3=(1/2)(√10785+111)/(√10785+95)
w3/w2=　(上の逆数)

という結果になります。

今度は計算が合っていると思いますが計算ミスがあるかも知れませんので、計算をフローして自身で確認してください。
（合っているかどうかだけなら、w1/w4,w2/w4,w3/w4とaを最初の連立方程式に代入して全て成立することを確認すればいいですね。）

回答No.12

sinisorsa

ANo.5さんへ
>たまたま上手くいっていますが、
>その考えでよいのでしょうか？
>w1 = a w1
>w2 = a w2
>w3 = -a (w1 + w2)
>だったら、どうします？

この場合、固有値問題を持ち出す必要もないでしょうが、
固有値問題としても解けます。固有値は、０，１，１となります。
(1/a)が固有値になりますから、０は対象外。
結局　a=1（2重解）
aを求めるのが、先決です。
後の見通しがよくなるでしょう。

回答No.11

noname#101087

←A No.9　様

>非零解があったダケでは駄目です。 解空間が一次元でないと、成分の比は不定になります。 だから、 連立方程式の rank を確認する作業は欠かせません。

a を求めずに「rank を確認する」別法があるのなら、ぜひご披露ください。

回答No.10

stomachman

ANo.3です。
　ANo.3で、aを定数としたときにもし解があればw1/w2などの比は「cに関係なく一意的に決まる」って書いたのは宜しくなかった。あれは結果論を書いちまったのです。
　というのは、「一意的に」なるかどうか、問題を一見しただけで分かるわけじゃないからです。連立方程式の形や係数がちょっと違えば、たとえば「w1とw2との比は決まるが、他は決まらない」だとか「どの比も決まらないが、ひとつを仮に決めれば他は決まってしまう」あるいは「解はない」なんて場合だってあり得る。
　すなわち、他の回答者の皆さんが仰るとおり、一般的に解こうとすると「解の集合がなす部分空間がどうなるか」を心配しなきゃならんでしょう。
　しかし、ご質問を拝見する限り、具体的な連立方程式についてドツボっていらっしゃる。一般論やるより、とりあえずこの問題を片付けたいんではないか。ならば、愚直に鶴亀算で経過を確認しながら計算して行って、もし途中でややこしい事が起こったら、それはそのときに考えりゃいいや、というのでも構わんのではないかなー。

　というだけじゃ回答になってないので、ANo.3の路線の亜流を実際にやってみましょうか。式変形をやって、なおかつドツボに嵌らないように、です。
　計算したいのは
x = w4/w1
y = w3/w2
の二つだけ（あとの二つの比はそれらの逆数)なんで、x, yを使ってw3, w4を消去してみると、どの式もw1とw2を両者の比という形でのみ含んでいる。そこでさらに
b = w2/w1
とおくと、w1,w2も消去できて、x, y, a, bだけを含む4本の式が得られる。（以下、手計算が危なっかしいので数式処理ソフトを利用）
18ay=30a+b
abx=ab-2
3abx-3y=5ab
bx+30ay=60a
と、これらの式をx,y,a,bの4変数の連立方程式だと見るわけです。もし解があって首尾良くa,bが決められたとすると、これらはx,yについては線形の方程式ですから、x,yはそれに応じて決まるだろうと分かります。
　そこでx,yを消去してみると
x=1-2/(ab)
y=b/(18a)+5/3
より
66a+(12(a^2)+1)b=0
15(a^2)-4ab+3=0
という連立方程式になり、さらにbを消去すると
b=-66a/(12(a^2)+1)
より
60(a^4)+105(a^2)+1=0
というaの4次方程式になる。だから、x,yも解を持つための必要条件は、aがこの方程式を満たすこと。
　さて、この式を(a^2)に関する二次方程式だと見ると二つの実解を持ち、どっちも負。ということは、これをaの4次方程式と見たときの4つの解はすべて純虚数です。
　しかし、
15(a^2)-4ab+3=0
より
ab = (15(a^2)+3)/4
b/a = 15/4+3/(4(a^2))
であるから、xとyは
x=1-2/(ab) = 1-8/(15(a^2)+3)
y=b/(18a)+5/3=(1/(24(a^2))+15/8
と(a^2)だけで書ける。つまり、x,ｙについては解は2つであり、しかも実数になる、と分かります。

　で、やってみると、
(a^2)= -7/8 ± (√10785)/120
(b^2)=(-1215√10785±130095)/(64√10785-(±6720))
x=(√10785-(±145))/(√10785-(±81))
y=(15√10785±1535)/(8√10785±840)
（複号同順）

　うひゃ－。もう少し整理できるのかも知れませんけど、ともあれ、ドツボの原因はどうやら式変形ではなくて、解そのものがドツボの臭いを放ってたせい？
　いやいや、もしかすると数式処理ソフトを使ってもなお計算間違いをやらかしてるのかも知れないなー。うん、やりかねん。というわけで「自信あり」にチェックは入れられない。

回答No.9

arrysthmia

←A No.7
繰言になりますが、非零解があったダケでは駄目です。
解空間が一次元でないと、成分の比は不定になります。
だから、
連立方程式の rank を確認する作業は欠かせません。
(No.8 は、そこに一言触れてありますね。)

回答No.8

info22

#1,#6です。
#6の補足です。
aをK=165a^4-825a^3-20a^2-55a-1=0を満たす実数(■)とすれば、
4変数の連立方程式の４つ中一次独立なものは３つになりますので、
改めて上の２つと最後の方程式の３つを使い、変数の１つを定数（たとえばw4）として(x1,x2,x3)についての連立方程式を解くと、
w1=-[(3/5)(5a^2+1))/(3a^2-1)]w4,
w2=-[(4/5)a/(3a^2-1)]w4,
w3=-[(45a^2+1)/(30a(3a^2-1))]w4
が得られます。
従って求める比の式は
w4/w1=-(5/3)(3a^2-1))/(5a^2+1)
w3/w2=(5/4)(45a^2+1)(3a^2-1)/(a(45a^2+1))
w2/w3=(4/5)a(45a^2+1)/((45a^2+1)(3a^2-1))　　　…(●)
w1/w4=-(3/5)(5a^2+1)/(3a^2-1)　
これらの比の式に
(■)のaの実数値
a=-0.01821149133 ... 、a=5.03724746126 ...
を代入して計算すれば言いかと思います。
a=-0.01821149133 ... の場合について比を計算して見ると
w4/w1=1.66225187545 ... ,
w3/w2= 127.506265713 ... ,
w2/w3= 0.007842751839 ... ,
w1/w4= 0.6015935459 ...
となりました。

もう1つのaについては残しておきますので(●)の式を使い計算して見てください。

計算が合っているかは質問者さんの方でもフォローして確認してみてください。

回答No.7

noname#101087

>w1 = -a(30w2 - 18w3)
>w2 = a/2(w1 - w4)
>w3 = -a/3(5w1 - 3w4)
>w4 = a(60w2 -30w3)

「式変形すると土壷にはま」るのは確かですね。

　w1　+　30aw2 - 18aw3 　　　　= 0
(a/2)w1 -　w2　-　　　 (a/2)w4 = 0
(5a/3)w1　　　 　+　w3　-　aw4 = 0
　　　　 60aw2 -　30aw3　-　w4 = 0

非零解がないことには、ハナシにならない。

・左辺の係数行列式 = 0 になる a を求める。(a≠0)
　根気の問題ですが。
　当方には無理！

・たとえば、上の三行について w4 を既知数とみなし、w1～w3 を求める。
　それを末尾行へ代入して、成立するように a を決める。
　行列式 = 0 よりはましかと試行中なれど、まだまだ泥沼。

回答No.6

info22

#1です。
補足します。

回答者の回答に、質問者の応答が何もありませんね。
定数aは実数ですか？
それとも複素数の範囲で考えるのでしょうか？

>ヒントだけでもよろしいのでお願いします！！
ヒントを貰ったらそのヒントを元に何らかのことをしてそれを補足に書いた上で、補足質問するなど何らかの応答を返すようにしましょう。
また、質問の問題についての不明確な記述についての確認を求められたら、ちゃんと修正するなどコメントを速やかに返しましょう。

A#1に書いたように任意の定数に対しては
4変数で4個の一次独立な方程式では、解ける場合は、解は1通りの(w1,w2,w3,w4)=(0,0,0,0)しか存在しないことはA#1で述べた通りですが、
方程式の係数には定数aが含まれていますので、場合によっては、4つの方程式が1次独立でない場合、つまり、3つの方程式からもうひとつの方程式が導出できるような定数aに対しては、一次独立な方程式が3個で変数が4個のいわゆる不定形になります。
その場合は１変数を自由に与えることができ、他の3つの変数がその変数を使って表すことが可能になります。つまり変数の比は確定するということです。
いわゆる連立方程式の係数行列のランクが３になるケースです。

この場合（係数行列のランクが4でない場合、言い換えれば独立でない方程式が含まれている場合）を考えてみると
明らかにa≠0なので
4つの方程式を解いていくと
[1 0 0 0][w1]
[0 1 0 0][w2]=0
[0 0 K 0][w3]
[0 0 0 1][w4]
K=165a^4-825a^3-20a^2-55a-1
と出てきます。
K=0となる時、係数行列のランクが3になります。
このときのaを求めると実数解が2個、複素解が2個出てきます。
定数aが実数なら
a≒-0.0182114913, 5.0372474613
となります。
このaを元の方程式に代入しw3を任意定数と考えて、(w1,w2,w4)についての連立方程式（３つの式だけを使う）と考えて解けば、w1,w2,x4がw3を使っ表すことができて、質問の変数間の比が求まります。

回答No.5

arrysthmia

たまたま上手くいっていますが、
その考えでよいのでしょうか？

w1 = a w1
w2 = a w2
w3 = -a (w1 + w2)
だったら、どうします？