直線の方程式

質問

y＝ax＋b　と書く方法と、
cx＋dy＋e＝0と書く方法はどのように使い分ければ良いのでしょうか？？
普段使っている参考書の解答を見たら、
「２点ＡＢを通る直線の方程式」の答えは「上の式、または下の式」で書いてあり、
「点Ａと３点ＡＢＣの重心Ｇを通る方程式」の答えは下の式の形で書いてありました。
これは明確に使い分けられているのでしょうか？
それとも、下の式を上に変形すると、
結局y＝－(c/d)x－e/dとなるのでどちらでも良いのでしょうか？

回答No.2

sta_vanilla · ベストアンサー

y = ax + b と cx + dy + e = 0 は、全く同一のものとは言えません。
含まれている文字の数が異なります。これが完全に同一のものだったら、
常に求めるべき数値が少なくて済む前者だけを使うことでしょう。
当然、後者には前者に含まれないケースが内包されているわけです。

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中学校では、恐らく２年生に「一次関数」の単元として、まず
y = ax + b という一般表記を習います。
そのときに変化の割合という概念も一緒に学び、一次関数では、どの部分を
取っても平面の割合が一定であり、結果的に直線となることを理解します。

一次関数から出発したのであって、座標平面上の直線を一般に表す式として
y = ax + b という表記が出てきたという順序ではありません。それは
座標平面上の直線であって、この形では表せない場合があるからです。
具体的には y 軸に平行な直線 x = k は、y = ax + b において a, b を
どのように取ってもこの形に表すことはできません。（傾きも y 切片も
存在しない）
このような場合、機械的に求める直線の方程式を y = ax + b とおくと、
y 軸に平行な直線が存在する場合を見落としてしまうことになります。

したがって座標平面上の一般的な直線を求めようとする問題であれば、
一般には cx + dy + e = 0 のような形でおかなければなりません。
座標平面上に決められた円が与えられ、円の上にないある定点を通過する
接線の方程式を求めるような問題の場合がこれに該当します。

求める直線の方程式が、明らかに y 軸に平行となる場合がないと分かる
場合には、cx + dy + e = 0 の両辺を d ( d ≠ 0 ) で割り、改めて別の
文字を割り当てることによって y = ax + b と同義になりますから、
初めから y = ax + b とおいて計算しても良いでしょう。

したがって

＞結局 y＝－(c/d)x－e/d となるのでどちらでも良いのでしょうか？

とある部分も、d = 0 であればこのような変形は許されません。数学では
どのような場合でもゼロで割ることは許されていません。

どうぞ参考にしてみて下さい。

お礼

d＝0とならないことが明確な場合はどちらでも良いのですね。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#17965

ｘ＝３というグラフを上の式で表すことが出来ますか？
ａ＝？　ｂ＝？　出来ませんね。
上の式だけではｙ軸に平行な直線を表すことが出来ないのです。

下の式はどんな直線でも表せます。
ｃ＝１、ｄ＝０、ｅ＝－３を代入すればｘ＝３です。
その代わり、欠点として変数が一つ多くなりますね。

下の式は高校数学で習います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

INF-A

表しやすいほうを使えばいいと思いますよ。
y＝ax＋bと書くと，直線の傾きや切片が
わかりやすくなりますね。
cx＋dy＋e＝0は２元１次方程式です。
ax－y＋b＝0とすれば，cx＋dy＋e＝0と同じ
形になります。

ちなみに，y＝ax＋bは陽関数，cx＋dy＋e＝0は陰関数と呼ばれます。

お礼

呼び方まであるんですね。ありがとうございました。