３次方程式の根

質問

３次方程式を解くのに「カルダノの公式」がありますが、それを応用（かな？）して次の３次方程式

x^3+3px+q=0

の３根をしりたいのですが・・・。面倒かもしれませんが教えてください、お願いしますm(__)m

ヒント（？）として
　x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+wy+w^2z)(x+w^2y+wz)　　ただし、 w =(-1+√-3)/2　とする。
が与えられているのですが・・・。

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

いま、
　p=-yz, q=y^3+z^3　… (1)
とおけば、
　x^3+3px+q=x^3+y^3+z^3-3xyz.
したがって、恒等式
　x^3+y^2+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+ωy+ω^2z)(x+ω^2y+ωz)
から、3次方程式
　x^3+3px+q=0
の解は、
　x=-(y+z), -(ωy+ω^2z), -(ω^2y+ωz).　… (2)
さて、(1)より、
　y^3+z^3=q, y^3z^3=(yz)^3=(-p)^3=-p^3
であるから、解と係数の関係から、y^3,z^3は、2次方程式
　k^2-qy-p^3=0
の解である。解の公式から、
　k={q±√(q^2+4p^3)}/2.
よって、
　y=<3>√[{q+√(q^2+4p^3)}/2],
　z=<3>√[{q-√(q^2+4p^3)}/2].
ゆえに、(2)から、
　x=-<3>√[{q+√(q^2+4p^3)}/2]-<3>√[{q-√(q^2+4p^3)}/2],
　-ω<3>√[{q+√(q^2+4p^3)}/2]-ω^2<3>√[{q+√(q^2+4p^3)}/2],
　-ω^2<3>√[{q+√(q^2+4p^3)}/2]-ω<3>√[{q+√(q^2+4p^3)}/2].

回答No.2

good777

No.1のoshiete_gooさんの解法でよいと思います。が、私自身が中学のころこれを見て
とても分かりにくかったので、あえて付け加えさせていただきます。

q=y^3+z^3, p=-yz とおくと
０＝x^3+3px+q＝x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+wy+w^2z)(x+w^2y+wz)　
より３解
ｘ＝-ｙ-ｚ、-ωｙ-（ω＾2）ｚ、-（ω＾2）ｙ-ωｚ
が求まる．

ただし，y,zは解と係数の関係より
y^3+z^3＝q, y^3・z^3＝-p^3 から
2次方程式
t^2-qt-p^3=0
を解いて
（y^3、z^3）＝（(-q＋√（ｂ＾2-4ｐ＾3)）/2、(-q－√（ｂ＾2-4ｐ＾3)）/2）

2つのルートの前の＋と－は取り替えても、
あるいははじめをプラスマイナス、あとをマイナスプラスと書き，複合同順と書き添えても
一般性は失われない。

y^3＝(-q＋√（ｂ＾2-4ｐ＾3)）/2、
より、
ｙ＝（1の立方根）×（3√（(-q＋√（ｂ＾2-4ｐ＾3)）/2）））、

z^3＝(-q－√（ｂ＾2-4ｐ＾3)）/2
ｚ＝（1の立方根）×（3√（(-q－√（ｂ＾2-4ｐ＾3)）/2）））、

ここで、（1の立方根）が、1、ω、ω＾2　の3通りあり、ｙｚ＝－p＾3となる組み合わせを選ぶ。

よけいわかんなくなったかなあ。

回答No.1

oshiete_goo

q=y^3+z^3, p=-yz とおくと
０＝x^3+3px+q＝x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+wy+w^2z)(x+w^2y+wz)　
より３解が求まる．

ただし，y,zは解と係数の関係より
y^3+z^3＝q, y^3・z^3＝-p^3 から
2次方程式
t^2-qt-p^3=0
を解いて(３乗根として)求められる．