2次方程式

質問

2次方程式　x2乗－４x＋a＝０
が異なる２つの正の解をもつような定数aの値の範囲は
□＜a＜□である。（□に数字が入ります。）

という問題がありますが先生にヒントをもらったのですがよく理解できませんでした。U字型のグラフでx軸と交わるところがプラスというところまでは理解できましたが、計算が□にあうように上手くできません。
どうすればいいのか教えてください。

回答No.2

Yokoken · ベストアンサー

回答の方はまず、0 < a < 4 になるのでしょうか？
少し自信がないのですが…。

これで良ければ以下回答を進めたいと思います。
良かったら参考にしてください。

まず、２次方程式が２つの異なる解を持つことより、
判別式D > 0 が成り立ちます。
よって、D = 16 - 4a > 0
∴　a < 4

次に、この２次方程式を解の公式で解くと、
x = 2 ± √(4-a)
になると思います。
ここで、 2 + √(4-a) > 2 - √(4-a) ですので、
小さい方の解が正であれば良いと考え、
2 - √(4-a) > 0
これを解いて、a > 0 となります。

先のものと併せて、
a の範囲は、　0 < a < 4 となります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます

回答No.7

mirage70

回答がでていますので、考え方だけを書きます。
(1)U字型のグラフで頂点を求めます(2,a-4)
異なる２実根が存在するためには、U字型よりa-4<0となることが必要。または、判別式を用いてD>0を利用しても同じ結果になります。
(2)異なる２実根をα>βとすると、α>2>βとなります。
β>0であることを求めればよいのです。
ここで、U字型のグラフで2>β>0であるには、与式にx=0を代入したときに、与式が正であることが必要となります。
これは、x=0で与式は正、x=2で負となることから、0<x<2の間に与式が0となる値が存在します。
此の(1)と(2)を組み合わせればでてきます。

お礼

ありがとうございます。ヒントになりました。

回答No.6

febhoney

グラフをイメージして下さい。この放物線の軸はx＝２ですよね。だから放物線とy軸との交点が正であり、なおかつ放物線がx軸と異なる２点で交わるとそれらの交点は必ずx軸の正の部分にあるはずです。だから、
　y切片　＞　０　　
　判別式　＞　０
が求める条件です。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

shkwta

あえてグラフだけで解くのだとすると、
この２次方程式の左辺をyとし、これを完全平方形にすると
y = x^2 - 4x + a = x^2 - 4x + 4 + a - 4 = (x - 2)^2 + (a - 4)
ですから
y = (x - 2)^2 + (a - 4) = 0
このグラフは、底が(2, a-4)にあります。
aを増加させると、グラフは上に移動しますが、a = 4のところでちょうどx軸に接します。したがってaは4未満でなければなりません。
aを減少させると、x軸との2つの交点がだんだん離れていきます。そのうちの１つが原点に達するのはa= 0のときになります。したがって、aは0より大きくなければなりません。
以上より、0＜a＜4となります。

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.4

kamineco

（xの2乗はx^2と表記します）
異なる2つの実数解をもつのですから、判別式Dは、
D>0・・・<1>
というのは分かりますよね。
問題はその次です。
その実数解がともに正の解ということは、
f(x)=x^2-4x+aとすると、
y=f(x)のグラフがy軸よりも右のところでx軸と交わっているということです。
そうなると、y=f(x)のグラフは下に凸（U字形）ですから、必然的にy軸との交点はx軸より上になりますよね。つまり、
f(0)>0・・・<2>
となるのです。
<1><2>より、aの範囲は、
□<a<□となるわけです。
分かりましたか？

お礼

詳しい解説ありがとうございます

回答No.3

noname#20378

類似した問題の解答を参考にしてください
http://homepage3.nifty.com/fum_s/math1-5/math1-5-1.html

お礼

ありがとうございます

回答No.1

kawaching2

解の公式をつかえばいいのでは？
ｘ＞0としてaについてといていけばいいと思うのですが・・・

お礼

ありがとうございます