連立二次方程式を解くには・・・

質問

多変数の連立二次方程式を解きたいのですが，
何方かご教授いただけないでしょうか．
(a1*x+b1*y)^2+(a1*z+b1*w)^2=E1^2
(a2*x+b2*y)^2+(a2*z+b2*w)^2=E2^2
(a3*x+b3*y)^2+(a3*z+b3*w)^2=E3^2
(a4*x+b4*y)^2+(a4*z+b4*w)^2=E4^2
条件として，　　
定数　　a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,E1,E2,E3,E4
　　　（a1≠a2≠a3≠a4≠b1≠b2≠b3≠b4≠E1≠E2≠E3≠E4）
未知数　x,y,z,w (x≠y≠z≠wであり，有理数)です．
方程式４つに対して，式が４つあるので解けるとは思います．
この方程式を解く方法として，外接球法を用いた方法を考えているのですが，
イマイチ理解できないため，他にこの多変数の連立二次方程式を解く方法や近似解法などの計算方法がありましたら，
何方かご教授くださいますようお願いします．
計算方法だけでも教えていただいたら，あとは自分で調べます．

回答No.4

mocapapa89

>解は見つかりましたが，絶対値の誤差が大きい結果になりました．
一般的に非線形の方程式はローカルミニマムに陥る場合が多く、初期値によっても解が変わります。誤差が大きい場合には初期値をいろいろと変えてみるのも良いのでは。

>最小化とは，目標値の最小値にチェックを入れればよろしいので
>しょうか．
はい。

>全体の絶対値を小さくするためには，目標値を0に近い値にすればよ
>ろしいのでしょうか
とりうる値が正の値なので、最小化で良いと思います。

>各式の絶対値誤差を少なくするためには，制約条件に各式の誤差が
>0になるとして再度計算すればよろしいのでしょうか．
制約条件は最大値がある場合につかうと思います。絶対値の式から正の値になるため、制約は書きにくいのでは。

お礼

確かに，初期値で解もだいぶ変わってきました．
全部，丁寧に指導していただきありがとうございました．

回答No.3

mocapapa89

やった方法をできるだけ詳しく書きます。
(1)エクセルでA1セルからA16セルまでa1,a2,...,z,wと書きます(これは表示のみで意味なし)。
(2)次にB1セルからB16セルまでa1,a2,...,z,wの実際の値を入れていきます。x,y,z,wは未知数なので初期値として1.0でも入れてください。
(3)次に目的関数を設定していきます。
C1セルに=abs(左辺-右辺)、C2セルに=abs(左辺-右辺),..C4セルに=abs(左辺-右辺)とします。それぞれ(1)から(4)の式の左辺と右辺です。
C5セルに=sum(C1:C4)として、このセルを目的関数とし、最小化(非負条件で)させるとゼロに近づけてくれます。絶対値の和がゼロに近づくので、それぞれの式もゼロに近づくことになります。これでいかがでしょうか？

補足

ありがとうございます．
この方法で方程式を解きました．
解は見つかりましたが，絶対値の誤差が大きい結果になりました．
いくつか質問なのですが，
最小化とは，目標値の最小値にチェックを入れればよろしいのでしょうか．
全体の絶対値を小さくするためには，目標値を0に近い値にすればよろしいのでしょうか
各式の絶対値誤差を少なくするためには，制約条件に各式の誤差が0になると
して再度計算すればよろしいのでしょうか．

何度もすいません....

回答No.2

mocapapa89

#1です。数値計算の場合a1等では解けないので例えば、
a1=1.1,a2=1.2,a3=1.4,b1=3.1,b2=3.2,b3=3.3,b4=3.4,E1=2.1,E2=2.2,E3=2.3,E4=2.4としてExcelソルバで解いてみました。ソルバは目的関数の最小化を行うので4つの式をひとつにするために絶対値誤差の和を目的関数としてみたところ、この値の場合にはx=0.362869, y=0.350336, z=0.344210, w=0.356782と解けました。参考までに。

参考URL：

http://office.microsoft.com/ja-jp/excel/HA011245951041.aspx

補足

4つの式をひとつにするために絶対値誤差の和を目的関数とした
とありますが，式番号を
(a1*x+b1*y)^2+(a1*z+b1*w)^2=E1^2　(1)
(a2*x+b2*y)^2+(a2*z+b2*w)^2=E2^2　(2)
(a3*x+b3*y)^2+(a3*z+b3*w)^2=E3^2　(3)
(a4*x+b4*y)^2+(a4*z+b4*w)^2=E4^2　(4)とすると，
ソルバーの目的セルを(1)～(4)の左辺の和として，
制約条件を((1)～(4)の左辺の和)=((1)～(4)の右辺の和)とすれば，
よろしいのでしょうか．
あまり，数学が得意でなくかつエクセルが使えないのでご教授お願い致します．

回答No.1

mocapapa89

非線形の連立方程式なので、数値的に解くのだと思います。定数ai,bi,Eiは実際には数値でしょうか。であれば身近にあるものとしてはExcelのソルバなどはいかがでしょうか？