４変数方程式が解けなくて困っています！！

質問

以下の方程式が解けなくて困っています。
w1,w2...の正確な値を出すのでは無く、w4/w1, w3/w2, w2/w3, w1/w4
の比を求めたいのですが、式変形すると土壷にはまっていってます。
ヒントだけでもよろしいのでお願いします！！

w1 = -a(30w2 - 18w3)
w2 = a/2(w1 - w4)
w3 = -a/3(5w1 - 3w4)
w4 = a(60w2 -30w3)

※w1, w2は、全て数字が下付きの異なる変数です。

回答No.4

sinisorsa

No.2です　補足します。
aを左辺に移項すると、方程式は、
(1/a)w1=-30w2+18w3
(1/a)w2=(1/2)w1-(1/2)w4
(1/a)w3=-(5/3)w1+w4
(1/a)w4=60w2-30w2

W=(w1,w2,w3,w4)'　（’は転置）
係数行列
　　　|0,　　-30,18,　　0　|
Ａ＝| (1/2), 0, 0, -(1/2)|
　　　|-(5/3), 0,　0,　　1 |
　　　|　0,　60,　-30,　0　|　
として、
　ＡＷ＝(1/a)Ｗ
となります。これは固有方程式です。
λ＝(1/a)とおいて、Ｗ’＝(0,0,0,0)以外の解を持つためには、
行列λＩ－Ａが正則でないことですね。
特性方程式は、det(λＩ－Ａ)＝０
これは、λの４次方程式ですから、４個の解を持ちます。
したがって、この問題の解は４組あります。
解Ｗを定数倍しても解なのは、明らかですから、
何らかの正規化か、比率だけかにより解が定まります。
以上　コメントです。

回答No.3

stomachman

ドツボにはまると命が危ないですが、そもそも

> w2 = a/2(w1 - w4)

ってのは

w2 = a/(2(w1 - w4))
なのか
w2 = (a/2)(w1 - w4)
なのか、どっちでしょうかね。（w3=の式についても同様。）

　ま、後者だと仮定してみます。すると…

　まずaが幾らであろうと、(w1,w2,w3,w4)=(0,0,0,0)が解であることは明らかです。ですが、この場合にはお求めの比が定義されませんので、この解は対象外でしょう。

　さて、aがある定数であるときに、もしこの連立方程式を満たすひとつの解(w1,w2,w3,w4)があったとすると、この解を任意の定数c倍したもの(cw1, cw2, cw3, cw4) もまた解になることは明らかです。でもお求めなのはw1～w4の相互の比ですから、(w1～w4のどれかが0にならない限り）cには関係なく一意的に決まる。

　なので、検討すべきはたとえば
w4=1
の場合だけです。

　あとは一本道。
　aは定数だと思って、w4=1を代入しますと、4本の式のうち3つから、w1, w2, w3をaを使って表す式が得られます。
　さらに残りひとつの式にこの結果を代入すると、(a^2)に関する二次方程式が得られます。
　従って、(a^2)がこの二次方程式の解であるとき、そのときに限って元の連立方程式は解(cw1, cw2, cw3, c)（ただしcは任意の定数）を持つ訳です。

回答No.2

sinisorsa

ａを左辺に移行すると、固有方程式の形式になります。
(1/a)が固有値に対応します。
従って、固有値と対応する固有ベクトルを求めればよい。
特性方程式は固有値の２乗の2次式となりますから、
簡単に解けます。
ちなみに、
固有値（1/a)は、
2.4865299、 - 2.4865299、 - 6.2303426、 6.2303426
となりました。

固有ベクトルは自分で求めてください。

回答No.1

info22

この連立方程式を解くと
w1=w2=w3=w4=0
となりますので
求める比は求めることが出来ません。