多変数の積分

質問

∫∫∫dxdydz　範囲1≦x^2+y^2+z^2≦4
この問題できるかた、おしえてください。
たいして難しくないだと思いますが；；
もちろんしっかりと積分をしてください＞＜
おねがいします

回答No.2

info22

丸投げっぽい（マナー違反）ので丸解答が出来ません。

>たいして難しくないだと思いますが
難しくないので自分で出来る所までやってそれを補足に書いて下さい。
それで行き詰まった所があれば何が分からないかきいていただけばアドバイスします。

積分は体積積分で立体の体積は
半径２の球の体積　32π/3　部分から半径1の球の体積　4π/3　部分をくり抜いた中空球体の体積
(32π/3)-(4π/3)=(28π/3)
になりますね。

積分による解き方のポイント
１）立体の対称性からx≧0,y≧0の部分について体積積分して8倍すればよい。
２）体積積分は領域 0≦x^2+y^2+z^2≦4の積分から
　　領域 0≦x^2+y^2+z^2≦1の積分を差し引く方法が簡単
３）直交座標のままでも積分可能だが複雑な計算になるので球座標
　　に変換して積分すると変数分離できて積分出来ます。
　　XYZ座標と球座標の変換は次のURLを参照すると良いでしょう。
　　http://kenpei-web.hp.infoseek.co.jp/math/coordinates/index.html
４）変数分離した球座標の積分は変数分離された形になっているので個別積分の積になります。

分からない箇所が出てきたら、積分をやってみて、やったことを補足に書いて分からない箇所を補足質問して下さい。

回答No.1

proto

＞もちろんしっかりと積分をしてください＞＜
あなたの注文を無視して申し訳ないのですが、
求める積分値は半径2の球の中から半径1の球をくり抜いた図形の体積ですので、球の体積の公式から
　　(4/3)*π*2^3 - (4/3)*π*1^3
を計算すればよいことになります。

ちゃんと積分で計算したいのであれば、球面座標を用いて
　　x = r*sin(θ)*cos(φ)
　　y = r*sin(θ)*sin(φ)
　　z = r*cos(θ)
と変数変換すれば、元の積分は
　　∫∫∫dxdydz = ∫∫∫{|J|}drdθdφ
積分範囲は、1≦r≦2,0≦θ≦π,0≦φ<2πとなります。
|J|はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式)です。

たいして難しくないだと思うので頑張って計算してください。