３重積分に関する問題
R^3上の広義積分
（１）∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
（２）∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
ただし、Q(x,y,z)=(x y z) A t(x y z)、Aは、上から、
A=(2 -1 1)(|-1 2 -1)(|1 -1 2)
で与えられているとします。上記の二つの積分を求めたいのですが、（１）に関しては次のように考えました。
（１）まず、Q(x,y,z)の標準化を考え、直行行列Pを用いてAを対角化します。そうすると、Pは（ただし、Aの固有値は4、1)、上から(最初の(1/√6)は係数）、
P= (1/√6)(√2 -√3 1)(-√2 0 2)(√2 √3 1)
となり、U=tPAPと置くと、A=PUtPとなるので、
Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)。
ここで、(x' y' z')=tPt(x y z)と置くと、
Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)=(x' y' z')Ut(x' y' z')=F(x',y',z')
と変換でき、またヤコビアンJ(x',y',z')=-2/3より、
∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
となります。よって、
(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
=(2/3)∫[-∞,∞] e^(-4x'^2)dx'∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
ここで、x'=(1/2)sと置くと、上式は、
=(1/3)∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
=(1/3)(∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds)^3
ここで、∫[-∞,∞] e^(-x^2)dx=√π より、
=(1/3)π√π
となりましたが、これで正しいでしょうか？また、（２）に関しては、
∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=∫∫∫[R^3] (x'^2 + y'^2 +z'^2)e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
としたところで止まってしまいました。どうやって考えればよいのでしょうか？
以上です。どなたかお力添えしていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。長文失礼しました。
お礼
とても丁寧にかつわかりやすくご回答いただき、ありがとうございます。 （1）は良くわかりました。 （2）はご指摘の計算方法と1さんの方法と両方やってみましたけれど結果は両方とも4/3と なってしました...