積分

質問

曲線y=x^2/2-x+5/2をC、C上の点P(p、p^2/2-p+5/2)におけるCの接線mとする。mの方程式はy=(p-1)x-p^2/2+5/2である。
mが原点Oを通るときp=±√5である。p=-√5のときの接点PをP1、p=√5のときの接点PをP2とする。
線分OP2、C、y軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

f(x)=x^2/2-x+5/2
g(x)=(√(5)-1)
S=∫(f(x)-g(x))dxとあるのですが、g(x)=(√(5)-1)はどう導きだしたのでしょうか。
ちょうど濃い網かけの部分ですよね。

回答No.2

exboy · ベストアンサー

この濃い網掛けの部分の面積を求めたいのですよね？
それならば、曲線Cから接線OP2を引いたものを0から√(5)の範囲で積分すればよいことになります。

ここで、接線OP2の式は
y=(p-1)x-p^2/2+5/2ですよね。
一見ややこしいものに見えますが、p=√(5)を代入すると
y=(√(5)-1)xと変形できますよね。
これがあなたのかかれているg(x)の式です。

で、先ほどお示ししたように、曲線Cの式から接線の式を引いて、
0から√(5)の範囲で積分すれば、濃い部分の面積が出てきます。

実際に積分すると、
S=∫(x^2/2+(2-√(5)x+5/2)dx
=5+5√(5)/6となると思います。
（久しぶりにやったので正解かどうか自信がありませんが（笑））

回答No.1

rnakamra

g(x)=√(5)-1
ではなく、
g(x)=(√(5)-1)x
です。

x=√5 におけるf(x)に微分係数を求めれば接線の傾きが出ます。