円錐の問題なんですが

質問

底面の半径がｒ、高さがhの円錐の円錐がある、表面積をＳ、体積をＶとすると
Ｓを一定に保ちながらＶを最大にする、最大になったときのh/rの値を求めよ
という問題なのですが、

式をたてたところ、Ｓ＝3V/h(1+(√πh^3/3V+1))（中のカッコ内全てルートの中です）
となり、ここでどうにもならなくなっちゃいました。
式が間違っているのでしょうか？それともこの式から先があるのでしょうか？
教えて下さい　宜しくお願いします。

回答No.3

starflora · ベストアンサー

まず、面倒な計算になるのですが、わたしは、真面目に地道に計算してみます。答えまで出しますが、参照にしてください。

　　１）
　　最初に、円錐の全表面積Ｓを求めます。Ｓは、側面部分の表面積Ｓ１と、底面の表面積Ｓ２の合計です。Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２　です。

　　Ｓ２＝πｒ^2
　　Ｓ１＝π(r^2+h^2)Ｘ{2πr/2π√(r^2+h^2)}
　　　　＝πr√(r^2+h^2)
　　Ｓ１は、円錐の曲がった部分で、展開すると大きな円の弧に応じた部分の面積です。大きな円の半径は、√(r^2+h^2)で、この弧の長さに当たるのが、2πrなのです。

　　Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝πr^2＋πr√(r^2+h^2)

　　ここで、Ｓは、定数なので、h^2 を、Ｓとrで表現できるはずです。
　　Ｓ－πr^2＝πr√(r^2+h^2)
　　√(r^2+h^2)＝(Ｓ-πr^2)/πr＝Ｓ/πr－r
　　r^2+h^2＝(Ｓ/πr－r)^2＝(Ｓ^2)/(π^2)(r^2)＋r^2－2Ｓ/π
　　→　h^2＝(Ｓ^2)/(π^2)(r^2)－2Ｓ/π

　　２）
　　次に、円錐の体積Ｖを求めます、これは、簡単な式になります。
　　Ｖ＝(1/3)hπr^2

　　そこで、このＶから、h を消去して、一変数関数にし、その極値を微分して求めると、最大値になる場合が出てきます。
　　Ｖ＞０ですから、Ｖ^2で考えても、最大値は同じです。
　　Ｖ^2＝(1/9)(π^2)(r^4)(h^2)
　　また、定数係数は、最大値計算では、微分過程で、無関係なので、(1/9)(π^2)を外し、Ｗ＝9Ｖ^2/π^2 を考えます
　　Ｗに、先に求めたh^2 を代入します。
　　→　Ｗ＝(r^4)(h^2)＝(r^4){(Ｓ^2)/(π^2)(r^2)－2Ｓ/π}
　　＝(Ｓ^2)(r^2)/(π^2)－2Ｓr^4/π
　　極大のため微分するのですから、Ｙ＝π^2ＸＷ　で計算しても問題ありません。
　　Ｙ＝(Ｓ^2)(r^2)－2πＳr^4

　　これを、r で微分し、０と置いて、極値を求めます。
　　dＹ/dr＝2(Ｓ^2)r－8πＳr^3＝０

　　r=0　が解の一つですが、これでは、円錐になりません。rは０でないので、両辺をこれで割ることができます。また、Ｓも定数ですから、これで両辺を割ることができます。
　　2(Ｓ^2)r－8πＳr^3＝０　→　2Ｓ－8πr^2＝０
　　→　r^2＝Ｓ/4π
　　→　r＝＋√(Ｓ/4π)
　　この r の時に「極値」ですが、これは、最大か最小か、中間値かを考えると、極値は一つしか出ていませんし、（もう一つ r=0 の時がありましたが、あれが最小値です）、表面積を一定にして、体積が無限に発散することはありえないので、この極値は、最大値の極値ということになります。

　　３）
　　h^2/r^2 を計算します。h,r>0 ですから、開平しなくとも問題ないのです。
　　また、r^2 は、上の値で考えます。
　　h^2/r^2＝{(Ｓ^2)/(π^2)(r^2)－2Ｓ/π}/(Ｓ/4π)
　　＝{(Ｓ^2)/(π^2)(Ｓ^2/16π^2)－８}
　　＝１６－８＝８

　　h^2/r^2＝8　ですから、h/r＝２√２

　　計算や思考法が下手で、エレガントに答えが出てきませんが、これが答えだと思います。

　　（なお、この計算では、Ｓを定数と考えて計算しているので、具体的には、r, h ,Ｓ,Ｖは出てきていません。それらを計算しようとすると、もう少し複雑な式の計算をしなければなりません。あるいは、r をＳの式に代入して、Ｓが定数であることより、これを、微分して０になるようにすれば解けそうですが、そのためには、h の値が必要となるということで、別の考え方が必要なように思えます。上の計算や考え方は、これで、h/r を求める方法です。この計算では、r は、Ｓを含む形で出てきており、h もＳを含むので、h/r を計算すると、丁度Ｓが消えてくれるので、答えが出るので、上に言ったことを繰り返せば、これで、r.h,Ｓなどの具体値が出ているのではなく、また、すぐに出てくるとは、わたしには思えません）。

お礼

ありがとうございました。。
とてもよくわかりました（＾＾）

回答No.2

kony0

問題は、２変数関数V(r,h)の最大値を求める問題で、制約条件は各変数の非負性と、Sに関する等式制約ですよね？
「等式の条件式があるので、これを用いて文字消去」し、１変数関数の問題にしてあげれば、比較的簡単に解けませんでしょうか？
（ちなみに鍵括弧内の文言は、多変数の問題を考える上では武器になると思います。チャート式にも「等式あれば　文字消去」みたいなのないかなぁ？）
概略を簡単に示すと、
(1)面積の条件式より、h^2=(S/r)(S/r - 2r)
(2)V^2を考え（単純に√が嫌なだけです。Vの最大化とV^2の最大化は本問では明らか）(1)の式を代入して、V^2=(1/3)*πS*(Sr^2-2r^4)
(3)(d/dr)V^2を考え、r>0の元でV^2を最大とするrを求める。
(4)(1)の式に(3)の結果を代入してhも求める。
答えは、2√2になりました。

＃Sは定数扱いするという概念と、r,hが変数で、Vがそれらの関数となるという、一番スタートのところがじゅうぶん整理できていなかったのではないでしょうか？
この回答は実は#1でnuubouさんがおっしゃっていることそのまんまだったりします。（笑）

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

nuubou

Ｓは一定なのだから
Ｓ＝
とするよりも
Ｖ＝
としたほうがいいのでは？
しかも
Ｖ＝ｆ（ｈ）
よりも
Ｖ＝ｆ（ｒ）
の形の方が良さそうですね

お礼

回答ありがとうございます