円形の紙から扇形を切りとって円錐を作り、円錐の体積

質問

円形の紙から扇形を切りとって円錐を作り、円錐の体積を最大にしたい。もとの円の半径をa、扇形の中心角をθ(ラジアン)とするとき、以下の問に答えよ。
1.円錐の底面の半径rをa、θで表わせ。
2.円錐の高さhをa、θの式で表わせ。
3.円錐の体積V(=1/3πr^2h)をa、θの式で表わせ。
4.Vを最大にするθを求めよ。
5.4で求めたθは度数法ではおおよそ何度か。√8/3≒1.633を使って計算せよ。
長めの問題ですがお願いします。

回答No.2

jcpmutura

1
r=aθ/(2π)

2
h=a√[1-{θ/(2π)}^2]
h=a√{1-θ^2/(4π^2)}
h={a√(4π^2-θ^2)}/(2π)

3
V={a^3/(24π^2)}θ^2√(4π^2-θ^2)
V={a^3θ^2√(4π^2-θ^2)}/(24π^2)

4
V(θ)'
={a^3/(24π^2)}[2θ√(4π^2-θ^2)-θ^3/√(4π^2-θ^2)]
={a^3/(24π^2)}θ(8π^2-3θ^2)/√(4π^2-θ^2)
={a^3/(24π^2)}3θ{π√(8/3)-θ}{π√(8/3)+θ}/√(4π^2-θ^2)
0<θ<π√(8/3)の時V'>0だからVは増加
θ>π√(8/3)の時V'<0だからVは減少
だからVを最大にするθは
θ=π√(8/3)

5
θ=π√(8/3)
≒3.14159*1.633
≒5.13
おおよそ
5.13°

なお(√8)/3≒1.633ではなくて
(√8)/3≒0.9428
√(8/3)≒1.633
です

回答No.1

Nouble

必ず何時も
他の人に
解を求められる
そんな事は
あり得ません

魚を与えず、釣り方を示せ
と、言います

今回も、
考え方、アプローチを示す
此が良い
と、思います。

まず、
1、2、
其れを　解いてください

1は
紙の円弧が
立体の底面円周になる
と、言えば
お解りになる
で、しょう

2は
方針としては

立体の断面
其れを想像します。

断面を二等分する
と、
切断した箇所の長が
高さと等しくなる

其の事から
高さを求めます。

まず、此の立体
其の底面の半径は
1で求めた　円周の長さ
其れを持つ　円の半径
此と同じです

此の立体
其の断面
其此の長さは
紙の円弧
其の半径です

さて、
此の立体
其の断面
縦に真っ二つに
此を割ります

今切り出した切断面
其れの長さ
其れが、立体の高さと同じ
です、

今切り出した形
其れは、直角2等辺三角形
て、斜辺と底辺の長さ
其れが、既に此処迄で
判っています。

直角2等辺三角形の場合
3辺の内、2辺の長さが判れば
もう1辺の長さ
此も、ピタゴラスの定理から
判ります
よね？

先に書いた通り
此の残りの1辺の長さ
其れが、高さと同じです

ので、
高さは此処迄で
求まります
よね？

3は、公式でも見てください

さて、問題は4
ですね

一般的に
どんな形であろうとも
体積は
高さ×底面積×形由来の係数
此の累和で
求まります

此の時、係数は
形次第の普遍の定数
詰まりは
形が変わらない限り不変
体積の増減
其れに影響しません
無視してみます。

すると、結局は
立体の体積増減
此に関わるのは
高さと底面積
其のかけ算です
よね？

言い換えれば
2値の掛け算が体積
其の体積を最大にしたい
と、いう事は
2値の掛け算を最大にしたい
と、同じ事
ですよね？

で、
2値の掛け算は
一般化すると
(n-a)(n-b)
と、置けます

省略しますが
(n-a)(n-b)
此の最大を取る時
其れは、
a = b
と、なります

言い換えれば
2値の掛け算においては
其の2値が等しい時
最大となる
そういう訳です

纏めてみましょう
4では
体積最大を求めている
其れは、高さと底面積と係数
其の掛け合わせである

だが、
3で求める体積最大
其れに、係数は関わらない
体積は高さと底面積にのみ左右され
此の積で求まる
詰まり、2値の積である。
高さと底面積の積
と、いう
2値の積の最大は
各々か等しい時である
詰まりは
底面積と高さの値か等しい時

1で求めた値
其れから算出される底面積
2で求めた高さ
此が同じ時
最大となる
の、です

5ですが
引っかけ
其れも、確かにあります

が、((√8)/3)`2
詰まり、8/9
其れが、出てきて

尚かつ
此の8/9という値が
既に2乗された値である

故に、8/9 = n^2
n = √(8/9)≒1.633
なのでしょう