集合と写像

質問

集合と写像の問題です。
A、B：集合、写像：ｆ、逆像：ｆ^-1において以下の性質を証明せよとの問題です。

ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)∩ｆ(B)
を証明しかつその逆ｆ(A∩B)⊃ｆ(A)∩ｆ(B)が成り立たないことを反例を立てて示せ。

ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)∩ｆ(B)の証明は
あるｘ∈A∩B⇒ｘ∈Aかつｘ∈Bである。
(A∩B)⊂A
(A∩B)⊂B
より
ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)
かつ
ｆ(A∩B)⊂ｆ(B)
よって
ｆ(A∩B)⊂ｆ(A)∩ｆ(B)

で証明できてると思うんですがその逆の反例が思いつきません。

どなたかｆ(A∩B)⊃ｆ(A)∩ｆ(B)
が成り立たないことを示せる方いらっしゃったらご教授願います。

回答No.2

settheory

ｆが単射のときに、逆の方も成立することがよく知られています。（証明もすごく簡単です）どういう時に成立するかを考えると、必要な条件が出てきたり、成立しないケースを想定できたりするものです。

お礼

そのようですね。

先生と議論になり様々なケースが存在するようです。

回答No.1

kabaokaba

＞あるｘ∈A∩B⇒ｘ∈Aかつｘ∈Bである。

これは不要．内容的には間違ってない式だけども
誤解を招くし，存在する意味はない．
＃そもそも「ある」が不要．どうしても書きたいなら
＃「任意の」の方が文脈上適切

>どなたかｆ(A∩B)⊃ｆ(A)∩ｆ(B)
>が成り立たないことを示せる方いらっしゃったらご教授願います。

これはきわめて簡単
A={1} B={2} f(x)=1
とでもおけば
f(A∩B)は空集合
f(A)=f(B)={1}
こういう反例を作る問題は，
極端でかつ単純なケースを考えるのが定石

お礼

遅れましたが非常に助かりました。

おかげさまでなんとかなりました。