この置き換えはあり？

質問

家庭教師先の問題で
ｋ＞１の定数、x,yは同時に０にならない実数とするとき
z=x^2+kxy+y^2/x^2+xy+y^2　の最大、最小を求めよという問題がありました。

x,yの同次式なのでx+y,xyを別の文字に置き換えて解けたのですが、
解答にはx=rcosθ,y=rsinθと置き換えて解いていました。
x,yは同心円上にあると限らないのにこの置き換えは可能なのでしょうか？

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

＞x=rcosθ, y=rsinθ
要するに極座標で書いただけでOKですね．

お礼

ありがとうございます。
少し勘違いしておりました…

回答No.5

siegmund

z=x^2+kxy+y^2/x^2+xy+y^2 は
(1)　　z=(x^2+kxy+y^2)/(x^2+xy+y^2)
のつもりでしょうか？
同次式と言うからそうなんでしょうね．
でも，z=x^2+kxy+y^2/x^2+xy+y^2 と書くと
(2)　　z=x^2+kxy+(y^2/x^2)+xy+y^2
の様に思われてしまいます．
テキストファイルで式を書くのは細心の注意が必要ですね．

それはともかくとしまして，
(3)　　x = r cosθ，y = r sinθ
の置き換えがＯＫなことは皆さんの書かれているとおりです．
実数 x, y を任意に変えますと xy 平面上を全部カバーする事ができますが，
極座標の r,θを 0≦r＜∞，0≦θ＜2π で変えてもやはり xy 平面上をカバーできます．
例えば，x = 1，y = 2 なら r = 2，θ=π/6 に対応するわけです．

それから，x+y と xy を別の文字に置き換えて，というのは間違いではありませんが，
注意が必要です．
(4)　　x+y = α，xy = β
としましょう．
で，x,y の関数(今は(1)の z のことですね)をα,βの関数に直して最大値最小値などを調べるときに，
α，βの値の範囲に制限がつきます．
つまり，(4)から x,y は２次方程式
(5)　　t^2 - αt + β = 0
の２つの解になっています(解と係数の関係)から，
x,y が実数であるための必要十分条件として判別式≧0，すなわち
(6)　　α^2 - 4β≧0
がつきます．
したがって，α，βの関数に書き直したあとで，(6)の条件の下での最大値最小値を吟味する
ことになります．
勝手な実数 x,y を持ってきたとき，α,βは必ず実数になります．
しかし，勝手なα,βを持ってきたとき，x,y が実数とは限らないということです．

r,θですとその種の制限はいりません．

どちらが簡単かは具体的な関数形(＋三角関数が得意か不得意など？)によります．
今の場合は，極座標で書くと分母分子で r がキャンセルしてしまうので
(x,yは同時に０にならないというのだから r≠0)，
θだけの関数になります．

回答No.4

Mell-Lily

xとyの一組で平面上の一点を表すわけですから、xとyが同心円上にあるということではありません。

回答No.3

TOURER_S

たぶんｘ、ｙともに同じｒをかけているので同心円上！！
とおもわれてるのでは。
ｒが常に同じ値を取るというように思ってしまわないことです。ｒはある点Ａにより決まるものです。
単なる一般系で表すとあなたが仰ったようになりますが
点Ａではない点Ｂだとしますとｒは変わってきますよね。
ある点を表すならｘ、ｙのｒとθは同じ。ほかの点を表すときは違いますよ。あくまで実数ｘ、ｙで、ｘｙ平面上の
任意の点（コレガ肝）をあらわすとx=rcosθ,y=rsinθ
と表しただけで、ｒとθの中身はほかの文字で表せる。
これでわかるかなぁ。

回答No.2

noname#24477

ｒが定数ならば同心円上の点になりますが、ｒも変数とすれば
すべての点を表すことができます。

＃１さんがおっしゃっている、点Ｐ（ｘ，ｙ）の極座標表示です。

今はｘ，ｙが同時に０にならないのでｒ≠０です。