「実数x,yについて、x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 の最小

質問

「実数x,yについて、x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8　の最小値と、そのときのx,yの値を求めよ。」という問題を解くと、

　解）t=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8　とおき、Xについて整理すると、
　　　 =…={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4　

　　これより、tは、x=y+2　のとき、最小値y^2-2y+4　をとる。

　　ここで、g(y)=y^2-2y+4　とおくと、

　　　　（省略）

と、この後は、g(y)=y^2-2y+4　を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
y^2+Z+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、以下の３通りのどれでしょうか？

　(1)y^2+Z+4　→　y^2+Z+4 , (2)y^2+Z+4=y^2+(Z+4) より、z+4 ,
　(3)y^2+Z+4=y^2+(Z+4)　より、z+4は１次関数なので、最小値はもたない

また、y^2+z^2+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、
　y^2+z^2+4　→　y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4) より、４　

で合っているでしょうか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

>このtの式の最小値が、y^2+Z+4となるtの式が有った場合

意味不明です。「tの式」を定義してください。

お礼

御回答有り難うございます。しかし、回答者様に、うまく伝わらない部分が御座いいましたので、補足させて頂きました。

補足

tの式とは、私の回答中にも書かれているように、最小値が、y^2+Z+4となるtの式、すなわち、実数x,y,zについての式があり、xについて整理し、平方完成すると、最小値が、y^2+Z+4となる式という事です。

回答No.4

htms42

質問の仕方が悪いですね。

＞また、y^2+z^2+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、
　y^2+z^2+4　→　y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4) より、４　

　で合っているでしょうか？

これだけのことだったのですか。
でも何故わざわざ
　y^2+z^2+4　→　y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4) より、４　
のように括弧でくくらなければいけないのですか。
質問文の前半部分でもｘとｙを区別して扱おうとしていますね。
この辺にも躓きの原因がありそうです。

ｘが実数であれば　ｘ^2≧０　という性質を使っているのですから
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋・・・≧０
です。変数が2つでも3つでも関係がありません。
単独の変数である必要もありません。
(　)^2＋(　)^2＋(　)^2＋・・・≧０
です。

お礼

御回答有り難う御座います。補足させて頂いたので、そちらの方にも目を向けて頂くと、有り難いです。

補足

＞これだけのことだったのですか？
　→いえ、これだけではなく、
　　y^2+z+4　の最小値もです。

＞でも何故わざわざ
　y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4)　より、４
　のように括弧でくくらなければいけないのですか。

→例題の解答が、最小値をg(y)と、置いていたからです。
しかし、私も、勘違いしていた部分があったみたいなので、また、質問をし直したいと思います。その時は、どうか、御回答よろしくお願いします。

回答No.3

noname#113983

tは、x=y+2　のとき最小値y^2-2y+4　をとるのが分かってるんだから、g(y)=y^2-2y+4　を
同様にやればできるんじゃねえのか。それで済む話じゃん。君は何がいいたいの？

お礼

御回答有り難うございます。
＞君は何がいいたいの？→補足質問に書いてあります。

補足

詳しい事は、回答番号：No.2のinfo２２様の補足質問の所に書いてありますが、簡単に言うと、「実数x,y,zと、文字が３つ有った場合の最小値の求め方で、私の解答が合っているでしょうか？」　という事で御座います。

回答No.2

info22_

>tの最小値は、以下の３通りのどれでしょうか？
>で合っているでしょうか？
いずれも間違い。

>t=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8
>={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4
=(x-y-2)^2+(y-1)^2+3≧3

よってtの最小値は3
この時のx,yは
x-y-2=0,y-1=0から x=3,y=1

お礼

御回答有り難うございます。しかし、回答者様に、うまく伝わっていない部分が御座いいましたので、補足させて頂きました。

補足

私の質問は、「実数x,yについて、x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8　の最小値と、そのときのx,yの値を求めよ。」という問題の解き方が分からないのではなく、

「最小値が、y^2+Z+4となるtの式が有った場合の、tの最小値

　最小値が、y^2+z^2+4となるtの式が有った場合の、tの最小値

すなわち、実数x,y,zについての式があり、xについて整理し、平方完成すると、最小値が、y^2+Z+4　または、最小値が、y^2+z^2+4となる式　の最小値を求めよ。」という問題があった場合、

最小値が、y^2+Z+4となるtの式が有った場合のtの最小値は、以下の３つの内、どれが合っているでしょうか？

　(1)y^2+Z+4　→　y^2+Z+4 ,
(2)y^2+Z+4=y^2+(Z+4) より、z+4 ,
　(3)y^2+Z+4=y^2+(Z+4)　より、z+4は１次関数なので、最小値はもたない

最小値が、y^2+z^2+4となるtの式が有った場合のtの最小値は、
　y^2+z^2+4　→　y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4) より、４　で、合っているでしょうか？

という質問で御座います。