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質問

∬∫[v]x^3y^2zdxdydz V:x^2+y^2+z^2<=1,x,y,z>=0

x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
とおいたまでは良さそうなんですが・・・

ちなみに私の答えは5π^2/1536・・・う～ん。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

球座標系
x = r cosθ cosφ,
y = r cosθ sinφ,
z = r sinθ,
r≧0,
-π/2≦θ≦π/2,
-π≦φ≦π
(北緯θ,東経φ)で置き換えると、

V: 0≦r≦1, 0≦θ≦π/2, 0≦φ≦π/2,
(x^3)(y^2)z = (r^6)(cos^5 θ)(sin θ)(cos^3 φ)(sin^2 φ),
dx dy dz = (r^2)(cosθ) dr dθ dφ
と書けるから、

S = ∫∫∫(r^8)(cos^6 θ)(sin θ)(cos^3 φ)(sin^2 φ) dr dθ dφ
= { ∫(r^8)dr }{ ∫(cos^6 θ)(sin θ)dθ }{ ∫(cos^3 φ)(sin^2 φ)dφ }
= { ∫(r^8)dr }{ ∫(-u^6)du }{ ∫(1-v^2)(v^2)dv }
= [ (1/9)r^9 ][ -(1/7)u^7 ][ (1/3)(v^3)-(1/5)(v^5) ]
= (1/9)(1/7)(1/3-1/5)
= 2/945.

ただし、u = cosθ, v = sinφ と置換した。

お礼

解答していただきありがとうございます

回答No.3

info22_

No.1です。

ANo.1で計算式の最から2行目に転記ミスがありました。
以下訂正させて頂きます。

最後から3行目から
>=(1/9)*∫[0→π/2](sinθ)^6 d(sinθ)
*∫[0→π/2]((sinφ)^2-(sinφ)^4) d(sinφ)
>=(1/6)(1/7)((1/3)-(1/5))

先頭の(1/6)は(1/9)の転記ミスです。正しくは

=(1/9)(1/7)((1/3)-(1/5))
です。
従って
>=1/315　←　上の転記ミスの影響で間違い
は正しくは

=2/945

となります。

質問者さんが見てもわかるようなお粗末な転記ミスでした。
ANo.1の最後の2行訂正願います。

#ANo.2さんの計算結果と一致しています。

お礼

解答していただきありがとうございます

回答No.1

info22_

I=∬∫[V] x^3y^2zdxdydz
V:x^2+y^2+z^2<=1,x,y,z>=0

球座標変換の
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
とおいて置換積分すると

V ⇒ E:{(r,θ,φ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2}
x^3y^2zdxdydz
=(r^6)(sinθ)^5*(cosφ)^3*(sinφ)^2*cosθ|J|drdθdφ
ヤコビアン|J|=r^2*sinθなので
=(r^8)(sinθ)^6*(cosφ)^3*(sinφ)^2*cosθdrdθdφ
であるから

I=∫[r:0→1]dr∫[θ:0→π/2]dθ∫[φ:0→π/2](r^8)(sinθ)^6*
(cosφ)^3*(sinφ)^2*cosθdrdθdφ
=∫[r:0→1]r^8dr∫[θ:0→π/2](sinθ)^6*cosθdθ
*∫[φ:0→π/2](cosφ)^3*sinφ^2 dφ
=(1/9)*∫[0→π/2](sinθ)^6 d(sinθ)
*∫[0→π/2]((sinφ)^2-(sinφ)^4) d(sinφ)
=(1/6)(1/7)((1/3)-(1/5))
=1/315