置き換えを使う２次関数の最大・最小

質問

置き換えを使って・・となったらわからなくなってしまいました・
Ｙ＝（Ｘ(2)－２Ｘ）(2)－４（Ｘ(2)－２Ｘ）－２　　（－１≦Ｘ≦２）
　（(2)は二乗と読んでください）
このときの最大値、最小値を求めよ。　　という問題です。

置き換えまでは参考書でなんとかやってきたのですが、もうわかりません・・。
どなたか、解き方と答えを教えてください。お願いします・・。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　お礼と補足をありがとうございます。

＞すみません、２段階目のグラフを描いてみたら、最小値は頂点のー６かなあ、？？と思ったんですが・・・。何度もすみません。

　その通りです。
　たびたびの計算間違いをお詫びします。

＞　　ｙの最小値：ｙ＝－５　（ｚ＝　１のとき）⇒（ｘ＝－１のとき）
(正)　ｙの最小値：ｙ＝－６　（ｚ＝　２のとき）
　　ところで、ｚ＝２となるｘの値を求めると、次の２次方程式の階となりますので、
　　x^2-2x=2
　∴ｘ＝1±√3
　ただし、ｘの範囲は、-1≦x≦2 ですから、ｘ＝1＋√3　は除外され、ｘ＝ｘ＝1－√3 のみ範囲に含みますので、
　∴ｘ＝1－√3
　したがって、ｙが最小値をとるのは、次のときになります。
　　ｙの最小値：ｙ＝－６　（ｚ＝　２のとき）⇒ｘ＝1－√3

　混乱させてしまって、本当にごめんなさい。

お礼

食事をしたり、仮眠をとったりでお礼が遅くなって本当にすみません。
何度も答えてくださって本当にありがとうございます！
考え方の道筋を教えて下さって本当に感謝しています。やっと何をしたらいいのかがわかりました。おかげさまでテスト範囲で解き方がわからないところはなくなりました。これから、朝まで演習をします。ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　補足を拝見しました。

＞でも、、すみません、ｚの最大値なのですが、ｘ＝－１のとき、３にならないでしょうか・・・？すみません！わからないです・・。

　その通りです。書き間違いました。
　ごめんなさい。私のほうこそ落ち着かなければなりませんね。

＞　　ｚの最大値：ｚ＝　１　（ｘ＝－１のとき）
(正)　ｚの最大値：ｚ＝　３　（ｘ＝－１のとき）
＞　　ｚの最小値：ｚ＝－１　（ｘ＝　１のとき）
＞　∴－１≦ｚ≦１　　・・・・・（C)
(正)∴－１≦ｚ≦３　　・・・・・（C)

＞　次に、式（B)も同様に平方完成の式に変形しますと、
＞　　ｙ＝(z-2)^2-6
＞　　となりますから、式（C)の－１≦ｚ≦１　の範囲でｙの最大と最小は次の値を取ります。
(正)　となりますから、式（C)の－１≦ｚ≦３　の範囲でｙの最大と最小は次の値を取ります。
＞　　ｙの最大値：ｙ＝　３　（ｚ＝－１のとき）⇒（ｘ＝　１のとき）
＞　　ｙの最小値：ｙ＝－５　（ｚ＝　１のとき）⇒（ｘ＝－１のとき）
(正)　ｙの最小値：ｙ＝－５　（ｚ＝　３のとき）⇒（ｘ＝－１のとき）

お礼

ありがとうございます！なんだかわかってきました。
いきなり縦軸ｙ、横軸ｘのグラフがかけないから、２段階にわけて、
初めに縦軸ｚ，横軸ｘのグラフを描いて、与えられたｘの範囲からｚの最大・最小を求めて、
次に縦軸ｙ、横軸ｚのグラフを描いて、上で求めたｚの範囲でｙの最大・最小を求める！・・ということでいいんですよね・・
なんだかわかってきたみたいです。朝からずっと考えてました・・。ありがとうございます！２年に進級できるようにがんばります。

補足

すみません、２段階目のグラフを描いてみたら、最小値は頂点のー６かなあ、？？と思ったんですが・・・。何度もすみません。

回答No.1

Mr_Holland

焦らずに落ち着いてやりましょう。

　まず、問題の式は、次の式でいいですか。
　　ｙ＝(x^2-2x)^2-4(x^2-2x)-2　　（2乗は「^2」で表します。）

　これでよければ、x^2-2x という共通の項がありますので、これをｚとおいてみますと、次のように変形できます。
　　ｚ＝x^2-2x　　　・・・・・（A)
　　ｙ＝z^2-4z-2　　・・・・・（B)

　まず、式（A)を平方完成の形に変形しますと、
　　ｚ＝(x-1)^2-1
となりますから、-1≦x≦2　の範囲でｚの最大と最小は次の値を取ります。
　　ｚの最大値：ｚ＝　１　（ｘ＝－１のとき）
　　ｚの最小値：ｚ＝－１　（ｘ＝　１のとき）
　∴－１≦ｚ≦１　　・・・・・（C)

　次に、式（B)も同様に平方完成の式に変形しますと、
　　ｙ＝(z-2)^2-6
となりますから、式（C)の－１≦ｚ≦１　の範囲でｙの最大と最小は次の値を取ります。
　　ｙの最大値：ｙ＝　３　（ｚ＝－１のとき）⇒（ｘ＝　１のとき）
　　ｙの最小値：ｙ＝－５　（ｚ＝　１のとき）⇒（ｘ＝－１のとき）

　以上のことから、ｙの最大・最小が求められます。

補足

ありがとうございます。
でも、、すみません、ｚの最大値なのですが、ｘ＝－１のとき、３にならないでしょうか・・・？すみません！わからないです・・。