合成関数の微分

質問

大学１年のものです。

次のような問題に出くわしました。

Z=f(x,y) x=rcosθ　y=rsinθのとき次の関係式を示せ。

Zxx＋Zyy=Zrr＋(1/r)Zr＋{1/(r^2)}Ｚθθ

ここで、

Zx=∂Z/∂x　　Zxx=∂^2Z/∂x^2

です。(r、θについても同様)

まず、

Zr=Zx・cosθ＋Zy・sinθ　…(１)
Zθ=-Zx・rsinθ＋Zy・rcosθ　…(２)

ですよね？

ここで疑問がわきました。
(２)でrsinθ=x、rcosθ=yと置き換えるのと置き換えないのとでは、Zθθが違う思います。
そこで教科書の答えを見ると、
置き換えて微分したほうの答えが書いてあったので、
置き換えて計算しないとダメなのかと思ったのですが、
(１)においてはcosθ=x/r、sinθ=y/rと置き換えないのでしょうか？

というか、教科書には置き換えないほうの結果が載っていました。
自分でもcosθは置き換えといて、置き換えた後のrがそのままなのはおかしいと思いますが、なぜrcosθを置き換えてcosθを置き換えないのかがわかりません。

質問を要約すると
なぜrcosθを置き換えてcosθを置き換えないのか？
ということです。

ちなみに教科書に載っていた答えは、
Zrr=Zxx(cosθ)^2+Zyy(sinθ)^2+2Zxy・sinθcosθ

Zθθ=Zxx・r^2(sinθ)^2+Zyy・r^2(cosθ)^2-2Zxy・r^2・sinθcosθ-(Zx・rcosθ+Zy・rsinθ)

です。

非常にわかりにくい文章だとは思いますが、教えていただければ助かります。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

補足の例と本題は性質というか話がが異なります。
本題は関数f(x,y)の変数を変換してg(r,θ)に変換した場合の話です。

ところが補足の話は
(1)z=xy : x,y,z空間の曲面（x=3yの定義がないとき）。
(2)z=xy=3y^2,(x=3y) : x,y,z空間の曲面z=xy上の曲線 z=3y^2(xの座標はx=3yで決まる)。
という２つの話が混同されています。

すなわち、(1)では曲面上の話ですから偏微分∂z/∂x,∂z/∂yが考えられます。
(2)では曲線上の話ですから、微分の変数方向を指定することはできず、微分しかありません（微分の方向は曲線上で決まっている）。
上の例ではパラメータ（何でもよいが）をyとしましたから、dz/dy=d(3y^2)/dyしか微分はないのです。

グラフなどの図があるともう少し分かり易いのですが。こちらの意図が伝わればよいのですが。

追加
それでも微分の公式から偏微分を使っても微分は求められます（z(x,y)=xy, x=x(y)=3yとして）。
dz/dy=∂z/∂x・dx/dy+∂z/∂y=y・d(3y)/dy+x=y・3+3y=6y

お礼

ありがとうございます。
混乱が解けました。
どうやら私は合成関数の微分の仕方を勘違いしていたようです…

本当にありがとうございました。

回答No.3

KENZOU

＃１の補足に対するコメント
>f(x,y)=xy (x=3y)
f(x,y)と書いた場合、変数x,yはそれぞれ「独立変数」を意味します。いまx=3yという関係を要求すれば、x,yは互いに独立でなくなりますから、f(x,y)という関数はg(x)=(1/3)x^2かh(y)=3y^2という関数になります。そしてdg/dx=(2/3)x=2y　or　dh/y=6y=2x

>(２)でrsinθ=x、rcosθ=yと置き換えるのと置き換えないのとでは、Zθθが違う思います。
もともとx,yは極座標r，θとx=rcosθ、y=rsinθという関係で結ばれていますので、突然rsinθ=x、rcosθ=yと置き換えるというわけにはいかないと思いますよ。。。

＞そこで教科書の答えを見ると、
置き換えて微分したほうの答えが書いてあったので、
置き換えて計算しないとダメなのかと思ったのですが

仰っている文脈がよく理解できませんが、ともかくZθθを生に計算してみましょう。ここでZxy=Zyxであることに留意してください。
x=rcosθ　→　(∂x/∂θ)=-rsinθ
y=rsinθ　→　(∂y/∂θ)=rcosθ
Zθ=Zx(∂x/∂θ)+Zy(∂y/∂xθ)=-Zx・rsinθ+Zy・rcosθ
Zθθ=-(∂Zx・rsinθ)/∂θ+(∂Zy・rcosθ)/∂θ
(∂Zx・rsinθ)/∂θ={(∂Zx/∂x)(∂x/∂θ)+(∂Zx/∂y)(∂y/∂θ)}・rsinθ+Zx・rcosθ=-Zxx・r^2sin^2θ+Zxy・r^2・sinθcosθ+Zx・rcosθ
全く同様にして
(∂Zy・rcosθ)/∂θ=-Zxy・r^2sinθcosθ+Zyy・r^2・cos^2θ-Zy・rsinθ
（←計算ミスがなければよいが）これから教科書のZθθがでますね。Zrrも同様にできます。TRYしてみてください。

お礼

＞突然rsinθ=x、rcosθ=yと置き換えるというわけにはいかないと思いますよ。。。

すいませんタイプミスです。rsinθ=y、rcosθ=xですね…

言われたやり方で、Ｚrrも計算してみたら教科書の答えが出てきました。
どうやら私は合成関数の微分の仕方を勘違いしていたようです。

本当にありがとうございました。

回答No.1

endlessriver

わかりにくいのですが。
Zx・rsinθを微分すると３つの関数の微分
(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'
をつかわねばならず面倒になるかと思います。
Zx・xであれば２つなので多少簡単です。

あと、式を変形しようと変形が正しければ結果は同じです（x=rcosθなどの表現は途中で違っても）。

すなわち、
(１)においてはcosθ=x/r、sinθ=y/rと置き換えたら計算が面倒になるだけです。

補足

わかりにくいですよね…申し訳ないです。
ちょっと混乱しています。

「式を変形しようと変形が正しければ結果は同じです」ということですが、例えば

f(x,y)=xy (x=3y)

という関数があったとして、f(x,y)をxで偏微分することを考えるとします。
このとき、
xを3yに置き換えない場合は
∂f(x,y)/∂x=y
xを3yに置き換えた場合は、f(x,y)=3y^2となるので、
∂f(x,y)/∂x=0

となり結果が違うような気がするのですが…

なにか自分でも、かなり初歩的なところを勘違いしているのではないかと思っているのですが、どこを勘違いしているのかわかりません…