機構の方程式について

質問

すみません。

x=L1cosθ1＋L2cos(θ1＋θ2)
y=L1sinθ1＋L2sin(θ1＋θ2)

を、θ1,θ2について解けという問題なんですが、わかる方できれば過程も含め教えてほしいです！
答にはatan2も使うらしいんですが…

お願いします！

回答No.3

noname#95312

下から5行目以降を一部以下のとおりに訂正する。

sinφ=±√[{2・L1^2-(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L2^2)}/(x^2+y^2)]
sinφ の符号は、|arg(z1)|<|arg(z2)| の時は正号をとり、
|arg(z1)|>|arg(z2)| の時は負号をとる。

θ1=Arcsin{y/√(x^2+y^2)}
　　　-Arcsin（±√[{2・L1^2-(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L2^2)}/(x^2+y^2)]）

θ2=Arccos{(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L1・L2)}

回答No.2

noname#95312

複素平面上の点、z1=L1・cosθ1+i・L1sinθ1、z2=x+i・y を考える。
図に示したように、原点 O から、z2 点から z1 に到る直線を延長する。
また、z2 より、この線に垂線を下ろす。

この図から、Oz1z2 の角は、π-θ2 で
従って、x^2+y^2=L1^2+L2^2+2・L1・L2・cosθ2 より θ2 が求まる。
これは、(1)^2+(2)^2 としても得られる式である。

L2・sinθ2={√(x^2+y^2)}・sinφ

L2^2・{1-(cosθ2)^2}=(x^2+y^2)・(sinφ)^2
これから、φ が求まり、これが分かれば

sin(φ+θ1)=y/√(x^2+y^2)
あるいは、tan(φ+θ1)=y/x より、θ1 が求まる。

L2^2・{1-(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L1・L2)^2}=(x^2+y^2)・(sinφ)^2
{1-(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L1)^2}=(x^2+y^2)・(sinφ)^2

sinφ=±√[{1-(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L1)^2}/(x^2+y^2)]
sinφ の符号は、|arg(z1)|<|arg(z2)| の時は正号をとり、
|arg(z1)|>|arg(z2)| の時は負号をとる。

θ1=Arcsin{y/√(x^2+y^2)}
　　　-Arcsin（±√[{1-(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L1)^2}/(x^2+y^2)]）

θ2=Arccos{(x^2+y^2-L1^2-L2^2)^2/(2・L1・L2)}

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回答No.1

noname#101087

>x=L1cosθ1＋L2cos(θ1＋θ2)
>y=L1sinθ1＋L2sin(θ1＋θ2)
>を、θ1,θ2について解けという問題なんですが ....

見てくれは線形の連立方程式だけど、じつは非線形。
たとえば「x = p*cosθ+ q*sinθ をθについて解け」という問題なら、二次の代数方程式に帰するらしい。

それをなぞると、cosθ1 を C1 、cos(θ1＋θ2) を Cs とでも置き、
　x = L1*C1＋L2*Cs
　y = L1*SQRT(1-C1^2)＋L2*SQRT(1-Cs^2)
から C1, C2 を求めることになります。
C1 の四次方程式を解くことになり、「atan2」なんぞ現れません。

もっとスマートな解法があるのかも。
とりあえず、一案のみ。