座標軸の回転と楕円の方程式

質問

原点Oを中心に回転した座標系で、元の座標系で楕円の方程式を表す方程式は、どう変わるかがわからないので質問します。
問題は、Oxy軸をOのまわりに120°回転して、Ox'y'軸が得られたとする。このときOxy系で楕円x^2/9+y^2/4=1を表す方程式は、Ox'y'系でどのような方程式になるか？です。
以下では、{}で行列を表し、(,,・・・)で一行分の要素を列挙し,左の()から1行、2行・・・とします。例えば、{(cos120°,-sin120°),(sin120°,cos120°)}の2行1列目の要素は、sin120°です。
自分は、{(x),(y)}={(cos120°,-sin120°),(sin120°,cos120°)}*{(x'),(y')}より、x=-1/2x'-√3/2y'とy=√3/2x'-1/2y'を得て、x^2/9+y^2/4=1に代入しました。そうして31x'^2-10√3x'y'+21y'^2=144を答えとしたのですが、
本の解答は、31x'^2-10√3x'y'-21y'^2=144でした。どなたか正しい答えを教えていただけませんかお願いします。

回答No.1

gamma1854

計算した結果は、
(c^2/9+s^2/4)X^2 + (2/9 - 2/4)sc*XY + (s^2/9+c^2/4)Y^2 = 1
より、
c=-1/2, s=sqrt(3)/2 として代入し、分母を払えば、
31*X^2 + 10sqrt(3)*XY + 21*Y^2 = 144.
を得ます。
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※ 楕円、ax^2+2hxy+by^2=1 においては、a>0 & ab-h^2>0 です。

お礼

お返事ありがとうございます。本も自分の計算結果もまちがいのようですね。