三角関数の方程式

質問

y=x+√(3)*sin(x)-cos(x)
0<=x<=2π
のときの微分係数が0になるxを求めたい。
y'=1+√(3)*cos(x)+sin(x)
y'=0 より　　1+√(3)*cos(x)+sin(x)=0　---(1)
(1)を解くのに　cos^2(x)+sin^2(x)=1 を使って
sin(x)=√(1-co^2(x))を代入して求めたら
x=π/2,3π/2,5π/6,7π/6 が得られたのですが、π/2と7π/6は
y'が0になりません。
定義域の関係なのかよくわかりません。
なぜ得られたπ/2と7π/6をy'の式に代入したら0にならないか教えて下さい。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>なぜ得られたπ/2と7π/6をy'の式に代入したら0にならないか教えて下さい。
> sin(x)=√(1-co^2(x))
とおけるのは
sin(x)≧0の場合だけです。

sin(x)＜0の場合は
-sin(x)=√(1-co^2(x))
を使って代入しないとダメです。
これが間違いの原因です。

>1+√(3)*cos(x)+sin(x)=0
これは三角関数の合成をつかって
1+2sin{x+(π/3)}=0
として
sin{x+(π/3)}=-1/2
を解いて
x+(π/3)=2nπ-(π/2)±(π/3)
x=2nπ-(5π/6)±(π/3) (nは任意の整数)
n=0の時 x=-π/2,-7π/6
n=1の時 x=3π/2,5π/6
n=2の時 x=7π/2,17π/6
…
などとなります。
なので
>x=π/2,3π/2,5π/6,7π/6 が得られたのですが、π/2と7π/6は
>y'が0になりません。
x=π/2と7π/6はy'=0の解に含まれていません。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
あとで　sin(x)=±√(1-co^2(x))　までは気づいたのですが、二乗してしまいました。
よく分かりました。

回答No.2

debut

sin(x)=√(1-cos^2(x))を入れた時点で
sin(x)≧０かつsin(x)=-1-(√3)cos(x)≧0つまりcos(x)≦-1/(√3)
を仮定するわけなので、変域は
θ(θはcos(x)=-1/(√3)となる角のうちπより小さい方)≦x≦π
［※-1/(√3)=-(√3)/3で-(√3)/2より大きいからθは5π/6より小］
となっているから、解は5π/6だけになり、
同様に、sin(x)=-√(1-cos^2(x))を入れれば変域は
θ(θはcos(x)=-1/(√3)となる角のうちπより大きい方)＜x≦２π
となるので、解は3π/2だけになります。

このような面倒なことや誤りを防ぐため、No1のかたの言っている
ように合成で解く方がいいと思います。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
あとで　sin(x)=±√(1-co^2(x))　までは気づいたのですが、二乗してしまいました。

回答No.1

de_tteiu

＞cos^2(x)+sin^2(x)=1 を使って
sin(x)=√(1-co^2(x))

これが違いますよね
cos^2(x)+sin^2(x)=1 より
sin(x)=±√(1-co^2(x))です

まあ、普通は
三角関数の合成を使うんですが

お礼

早速の回答ありがとうございます。
あとで　sin(x)=±√(1-co^2(x))　までは気づいたのですが、二乗してしまいました。