二次関数の問題の解法を教えてください。

質問

解けない問題がありましたので、質問させていただきます。

x≧0のとき

2x^2＋5x＋12
―――――――
ｘ＋２

の最小値は?

という問題です。
なるべく考え方などを詳しく書いていただけるとありがたいです。
ご回答お待ちしております。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

x+2＝t （t≧2）とすると　分子＝2t＾2-3t＋10.
Ｐ＝（2x^2＋5x＋12）/（ｘ＋2）＝（2t＾2-3t＋10）/（t）＝2t＋（10/t）-3.
t≧2より、相加平均・相乗平均を使うと、Ｐ＝2t＋（10/t）-3≧4√5-3.　但し、等号は、2t＝10/t　の時、即ち、t≧2　より、t＝√5　。

相加平均・相乗平均を使わなくても、素直に“判別式”を使っても良い。

お礼

ご回答ありがとうございました。
そういう解法もあるのですね！

ご意見ありがとうございました。

回答No.2

tenti1990

文系だから微分できないという前提で書きます。
解き方はいろいろありますが、個人的に一番好きな解き方をお教えします。

まず分子の2x^2＋5x＋12を分母のｘ＋２で割れるように変形して
(x+2)(2x+1)+10とします。
この結果

2x^2＋5x＋12　　　　　　　　　(x+2)(2x+1)+10
―――――――　＝　―――――――
ｘ＋２　　　　　　　　　　　　　　ｘ+２　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　10
　　　　　　　　＝　２x+1+――――　
　　　　　　　　　　　　　　　　x+2

となり後は相加相乗平均に持ち込みます。ここでx≧0がいきます

　　　　　　　　　　　　　　　20
　　　　　　　　＝　2x+4+―――-3　≧　2√20　‐3　＝　4√5　‐３
　　　　　　　　　　　　　　　2x+4

最近数学やっていないので間違っているかもしれません。
少し不安です…やり方はあっていると思いますが…
間違っていたらごめんなさい
がんばってください

お礼

ご回答ありがとうございました。
相加相乗平均でした！
とても助かりました＾＾

回答No.1

f272

普通に微分して増減表を書くのが簡単だと思うよ。

お礼

ご回答ありがとうございました。
とても参考になりました。

補足

ご回答ありがとうございます。

今高１なので、微分をまだ学習していないのです。
適切なご回答をいただきありがたいのですが、高１でも解ける方法でお答えくださると嬉しいです。

引き続きご回答お待ちしております。