解析学（積分・接平面など）の問題です。

質問

解析の問題です。
全くわかりません…解答よろしくお願いします。。

1.次を求めよ。
(1)∫{(x^3+x^2+3x+1)/(x^2+3x+2)}dx

(2)∫{(6x-1)/(x^2-2x+5)dx

(3)∫{x√（x^2+1)}dx

2.
z=(x^2/4)+(y^2/9)に(x,y)=(1,4)で接する平面の方程式を求めよ。

3.
f(x,y)=(1/√y)*e^-(x^2/4y)に対してfxx-fyを求めよ。

出来れば途中式もありでお願いします。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問回答
(1)
>最初の分け方がおかしいのでしょうか？
おかしいですね。部分分数展開の基礎から復習しなおさないと、それが波及して積分もできなくなる。高校の数学の部分分数の展開の仕方を復習しておいた方が良いですね。

(x^3+x^2+3x+1)/(x^2+3x+2)= (x-2) -{2/(x+1)}+{9/(x+2)}
分子が分母の次数に等しいか大きい場合は、整式分を抜き出してから
（狭い意味での）部分分数展開をしないといけないね。
整式同士の割り算を習っているなら、割った商が(x-2)となることはわかっていると思いますが...。

続きは頑張ってやってみてください。

回答No.1

info22_

全くの他力本願はだめなので、多少なりとも教科書や授業ノート、参考書、ネットなどで調べて自分で出来るところまでは自分でやる。

分からない問は、自力解答を作って途中計算を補足に書いて、わからない箇所だけ質問して下さい。

解き方
１
(1)部分分数展開してから、項別に積分する。
(2)x-1=t と置換すると積分の見通しがよくなる。
分子はtの項と定数項で２つの分数に分割して積分するとよい。
(3){(x^2+1)^(3/2)}'=3x√(x^2+1)
を逆に利用したら積分できる。

２
全微分を取ると
dz=(1/2)xdx+(2/9)ydy
なので係数に(x,y)=(1,4)を代入して(dx,dy,dz)→(x,y,z)に置き換える。
z=(1/2)1x+(2/9)4y→z=x/2+(8/9)y
これを(x,y,z)→(1,4,(1/4)+(4^2)/9)だけ平行移動して
z-73/36=(1/2)(x-1)+(8/9)(y-4)
これを整理すれば求める接平面の方程式になる。

３
単に合成関数の偏微分、積の偏微分をするだけ。

補足

やってみたのですが、まず１の
（1）部分分数分解をしたのですが、a/(x+1)+(bx^2+cx+d)/(x+2)にして互いの分母を解いてみたのですが、どうやってもa,b,c,d,がでません。
a=2をはじめに出してb=2,c=0とでるのですがdがどうしてもでてきません。
最初の分け方がおかしいのでしょうか？