代数学の、多項式の問題を教えて下さい

質問

f(X)(X^3+1)+g(X)(X^2+1)=1をみたす
多項式f(X),g(X)∈R(X)を一組見つけなさい。
という問題です。

いろいろ考えたのですが、うまく求まりませんでした。
何か方法があるのでしょうか？
それとも勘で当てはめていくしかないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

互除法を使います。
高次多項式x^3+1を低次多項式x^2+1で割ります。
x^3+1=x(x^2+1)-x+1………(1)
x^2+1を余り-x+1で割ります
x^2+1=(-x-1)(-x+1)+2
両辺に(x+1)(-x+1)を加えると
(x^2+1)+(x+1)(-x+1)=2………(2)
(1)の両辺に-x(x^2+1)を加えると
x^3+1-x(x^2+1)=-x+1
これを(2)の-x+1に代入すると
(x^2+1)+(x+1){x^3+1-x(x^2+1)}=2
(x+1)(x^3+1)+(x^2+1){1-x(x+1)}=2
(x+1)(x^3+1)+(1-x-x^2)(x^2+1)=2
{(x+1)/2}(x^3+1)+{(1-x-x^2)/2}(x^2+1)=1
∴
f(x)=(x+1)/2
g(x)=(1-x-x^2)/2

お礼

有難うございます。
このような方法があったのですね。
おかげで助かりました