∇とベクトルの積の表現形式について

質問

演算子∇とベクトル関数Aが∇Aと書かれている場合、これはテンソルとなりますね。（スカラ―関数φだと∇φはベクトルでシンプルでなじみがあります。）
このテンソルですが、表現の形式はマトリックスとなりますね。ベクトルの演算子∇とベクトルAで作るマトリックスには2通りの表記法が考えられます。

∂Ax/∂x ∂Ay/∂x, ∂Az/∂x
∂Ax/∂y ∂Ay/∂y, ∂Az/∂y
∂Ax/∂z ∂Ay/∂z, ∂Az/∂z

か

∂Ax/∂x ∂Ax/∂y, ∂Ax/∂z
∂Ay/∂x ∂Ay/∂y, ∂Ay/∂z
∂Az/∂x ∂Az/∂y, ∂Az/∂z

です。

どちらになるのか決まっているでしょうか。∇Aと表記しただけではどちらになっているか示すことができないと思いますが。あるいはどちらでも同じことになるとか、でしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

ddtddtddt

まず省略記法をどう定義するかの問題に過ぎない、という事は割り切って下さいね。

　ベクトルＡ＝(Ax，Ay，Az)^tに対して（^tは転置）、∇がＡにスカラーとして作用するとした、∇Ａ＝(∇Ax，∇Ay，∇Az)^tという慣用的な定義はあるようです。この時∇Ax＝gradＡで、横ベクトルと考えるのが普通です。結果は、

　　∂Ax/∂x ∂Ax/∂y, ∂Ax/∂z
　　∂Ay/∂x ∂Ay/∂y, ∂Ay/∂z　　　(1)
　　∂Az/∂x ∂Az/∂y, ∂Az/∂z

です。このテンソル（行列）は、ヤコビ行列と言われます。

　　∂Ax/∂x ∂Ay/∂x, ∂Az/∂x
　　∂Ax/∂y ∂Ay/∂y, ∂Az/∂y　　　(2)
　　∂Ax/∂z ∂Ay/∂z, ∂Az/∂z

はヤコビ行列の転置です(^^)。なぜ(1)の方に名があるかというと、ベクトルＡの全微分を考えたとき、(1)の方が使い勝手が良いからです。自分は勝手に(1)を、ベクトルＡの微係数と呼んでます(^^;)。もっとも(2)も、ベクトルの内積Ａ・Ｂのgradを計算する時なんかには出てきます。

　で∇Ａと書いただけでは色々と誤解しやすいので自分は、

　　gradＡ＝∇Ａ
　　div・Ａ＝∇・Ａ
　　rot×Ａ＝∇×Ａ

とはっきり明記する事にしてます。さっきのヤコビ行列ですが、テンソルである事をイメージしたいので、

　　Ａ’＝(∇Ａ)

と書く事にしてます。’は微係数の意味です(^^;)。

お礼

回答ありがとうございます。どちらに決めても数学的な構造に影響がない場合、数学は何も言わないのだろうと思います。どっちでもいいよと。そうすると、人間の都合できめていいということになるのかなと思います。結構人間は慣用的に色々決めてますよね。2次元の場合、x軸が横方向、y軸が縦方向とか。逆であっても何も影響ないのにですね。そういうことの１つなのかなと思ったりしますが。

回答No.1

info33

>演算子∇とベクトル関数Aが∇Aと書かれている場合、これはテンソルとなりますね。
本当にそうですか?

∇とベクトルAの積Aは 内積と外積の二つの定義があるだけと思います。
内積: ∇・A = div A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
外積: ∇× A = rot A = ( ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z , ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x , ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y )

参考URL：

http://eman-physics.net/math/vector02.html