ベクトルの問題

質問

ベクトルr=ai+yj+zkが次式を満たすnとmを求めよ。
(1)∇^2*r^n=0　ここでのｒはスカラー量です。
(2)∇・(r^m*rベクトル）=0

この問題について教えてください。
(1)ではｒ=(x^2+y^2+z^2)^.5とし、式に代入して整理すると次の式が求まりました。
ただしA=(x^2+y^2+z^2)とする。
(n^2+5n)A^(n/2-1)=0・・・(1)
これより、n=-5,0となったのですけど合っていますか？
(2)も同様に計算していくと
A^(m/2)*(3m+3)=0
となって、m=-3となったのですが合っていますか？
両方とも全く自信がないのでご指導お願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>(1)はやり直したらn=-1,0となりました（合っているかは分かりませんが・・・）。

ＯＫです。

＞(2)に関しては、書き間違いで、計算してもm=-3にはなりませんでした。m=-1となってしまいます。
ん？m=-3の方が書き間違いだったんですかｗ

計算は、divの定義に沿って計算するだけです。
例えば、微分の中のx成分は、xr^mですので、これをxで微分すると
r^m + m x^2 r^(m-2)
となりすよね。これをy,z成分についても足すだけです。最終的には、(3+m) r^mとなるはずです。

お礼

計算をやり直したらm=-3になりました。
詳しい説明ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

>(n^2+5n)A^(n/2-1)=0・・・(1)
>A^(m/2)*(3m+3)=0

両方違います。(といっても、後者に関しては,m=-3が正しいので単なる誤植だと思いますが)

ちなみに,r≠0では確かに∇^2(1/r)=0,∇・(r→/r^3)=0となるのですが、r=0では発散しています。(いずれもδ関数になります)

補足

(1)はやり直したらn=-1,0となりました（合っているかは分かりませんが・・・）。

(2)に関しては、書き間違いで、計算してもm=-3にはなりませんでした。m=-1となってしまいます。どのように計算していけばよいのでしょうか？