円と直線の関係（極と極線）について。

質問

皆様、お世話になります。よろしくお願いします。

円と直線の関係（極と極線）についての問題です。
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ある円Cと円C上にない点Pにおいて
点Pを通る直線lが円Cと2点A、Bで交わる時
PA：PB＝QA：QBとなる点Qの軌跡は直線になり、
その直線は点A、Bにおける円Cの2接線の交点を通ること
を示せ。
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これは極と極線の定義らしいのですが、
手が付けられずに困っております。
何かうまい解法はないでしょうか？

解法の指針だけでもよいのでよろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

＞解法の指針だけでもよいのでよろしくお願いします

円とその上にない点Ｐがあり、この円上の2点Ｒ、Ｓの接線の交点をＰとすると、そのＰを通る任意の直線が、この円とＰに関する極線ＲＳとＱで、この円とＡ、Ｂで交わるなら、Ｐ、Ｑ：Ａ、Ｂは調和点列をなす、という事は知られている事実である。‥‥（※）

つまり、PA：PB＝QA：QBという条件から、1/（ＰＡ）＋1/（ＰＢ）＝2/（ＰＱ）が成立するから、上の事実の逆を証明する事になる。
高校生の解答として、どこまで求めるのか分からないが（※）を既知の事実としないと、まともにやると難しい。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

「極線　調和点列」で検索しましたら参考になるHPがたくさんヒットしました！
思ったより難しくてまだ解決はしておりませんが、新たな視点が得られましたのでまた時間を掛けてじっくり考えてみます。

この度は本当にどうもありがとうございました。