円と軌跡、早めの解説お願いします!

質問

高校２年生です

2点A(-2,1)B(2,3)を通る直線lと円 C:x^2+y^2=1について

(1)直線lの方程式

(2)点Ｐが円C上を動くとき、三角形ABPの重心Gの軌跡

(3)直線lに関して円Cと対称な円C´の方程式

(4)点D(-2,0)と直線l上の動点Qに対し、線分の和OQ+QDの最小値

明日のテストに出るみたいなんですが、(2)からがよく分かりません……(>_<)
軌跡とかは苦手です…

早めの解説をお願いします!

回答No.3

yyssaa

(1)直線lの方程式
＞省略
(2)点Ｐが円C上を動くとき、三角形ABPの重心Gの軌跡
＞直線lの方程式：y=(1/2)x+2・・・(1)の答
重心は中線の交点だから、まず点Pと線分ABの中点(Rとする)
を通る直線(この直線はPを通る中線)の式をy=bx+cとしてb,c
を求める。点PをP(x0,y0)とすると、点RはR(0,2)だから
y0=bx0+c、2=b*0+c。連立で解いてc=2、b=(y0-2)/x0、
よってこの直線(Pを通る中線)はy={(y0-2)/x0}x+2・・・・・(ア)
次に点A(-2,1)と線分PBの中点(Sとする)を通る直線(Aを通る
中線)の式をy=dx+eとしてd,eを求める。Sのx座標は(2+x0)/2、
y座標は(3+y0)/2だから1=-2d+e、(3+y0)/2={(2+x0)/2}d+e。
連立で解いてd=(1+y0)/(6+x0)、e=(8+x0+2y0)/(6+x0)。
よってこの直線(Aを通る中線)は
y={(1+y0)/(6+x0)}x+(8+x0+2y0)/(6+x0)・・・・・(イ)
2本の中線(ア)(イ)の交点が重心Gだから(ア)(イ)を連立で解いて
{(y0-2)/x0}x+2={(1+y0)/(6+x0)}x+(8+x0+2y0)/(6+x0)
(y0-2)(6+x0)x+2x0(6+x0)=x0(1+y0)x+x0(8+x0+2y0)
{(y0-2)(6+x0)-x0(1+y0)}x=x0(8+x0+2y0)-2x0(6+x0)
(6y0-12-3x0)x=x0(2y0-4-x0)
x=x0(2y0-4-x0)/(6y0-12-3x0)=x0(2y0-4-x0)/{3(2y0-4-x0)}=x0/3
(ア)に代入してy={(y0-2)/x0}(x0/3)+2={(y0-2)/3}+2=(y0+4)/3
よって重心G(x,y)はx=x0/3,y=(y0+4)/3。
ここでP(x0,y0)は円C上の点だからx0^2+y0^2=1。
これに上で求めたx0=3x、y0=3y-4を代入して
(3x)^2+(3y-4)^2=9x^2+9y^2-24y+16=1
x^2+y^2-(8/3)y=-5/3、x^2+(y-4/3)^2-16/9=-5/3
x^2+(y-4/3)^2=1/9=(1/3)^2
よって重心Gの軌跡は点(0,4/3)を中心とする半径1/3の円・・・答
(3)直線lに関して円Cと対称な円C´の方程式
＞直線lと直交する直線は傾斜が-2で原点を通るから、その式は
y=-2x。この直線上の点(Tとする)と直線lとの距離が原点と直線l
との距離に等しくなれば、その点Tが円C´の中心になる。
y=-2xと直線lとの交点はy=-2xとy=(1/2)x+2を連立で解いて
x=-4/5、y=8/5。よって点TをT(x1,y1)とするとy1/2=8/5から
y1=16/5。x1/2=-4/5からx1=-8/5。よって円C´の方程式は
(x+8/5)^2+(y-16/5)^2=1・・・答
(4)点D(-2,0)と直線l上の動点Qに対し、線分の和OQ+QDの最小値
＞(3)の点Tを使うとOQ=TQだから線分の和OQ+QD=TQ+QD、すなわち
点Tから点Qを経由して点Dに至る距離になるので、これが最小と
なるのは点Qが線分TD上にきたときであり、その距離は線分TDの
長さ。よって線分の和OQ+QDの最小値は
√[{-2-(-8/5)}^2+(16/5)^2]=2√65/5・・・答

回答No.2

gohtraw

（１）
（ｙ－３）／（ｘ－２）＝（３－１）／（２＋２）
４ｙ－１２＝２ｘ－４
４ｙ＝２ｘ＋８
ｙ＝ｘ／２＋２

（２）
円Ｃ上の点を（ｘ、ｙ）とすると、△ＡＢＰの重心の座標（ｐ、ｑ）は
（ｐ、ｑ）＝（（ｘ－２＋２）／３、（ｙ＋１＋３）／３）
これより
３ｐ＝ｘ　・・・（１）
３ｑ＝ｙ＋４　つまり　ｙ＝３ｑ－４　・・・（２）
（ｘ、ｙ）はＣ上の点なので、（１）および（２）をＣの式に代入して
９ｐ＾２＋（３ｑ－４）＾２＝１
ｐ＾２＋（ｑ－４／３）＾２＝１／９
これは（０、４／３）を中心とする半径１／３の円です。

（３）
求める円Ｃ’の中心をＲとします。また、円Ｃの中心Ｏと
Ｒを結ぶ直線は直線ｌと直交します。その交点をＳとすると、
距離ＲＳは距離ＯＳに等しくなります。
直線ｌの傾きは１／２なので、これに垂直な直線の傾きはー２です。
傾きがー２で、円Ｃの中心を通る直線は　ｙ＝－２なので、点Ｒは
直線ｙ＝－２ｘ上にあります。直線ｌと　直線ｙ＝－２ｘの交点Ｓは
－２ｘ＝ｘ／２＋２　より　ｘ＝－４／５、ｙ＝８／５　なので、
点Ｒの座標を（ｘ、－２ｘ）とすると
（ｘ＋４／５）＾２＋（－２ｘー８／５）＾２＝８０／２５
５ｘ＾２＋８ｘ＝０
ｘ＝０、－８／５
ｘ＝０は原点に他ならないので、点Ｒは（－８／５、１６／５）
円Ｃ’の半径はＣと同じく１なので、Ｃ’の式は
（ｘ＋８／５）＾２＋（ｙ－１６／５）＾２＝１

（４）
点Ｏを直線ｌについて対称な位置に折り返した点をＯ’とし、直線ＤＱが
点Ｏ’を通るとき、ＯＱ＋ＱＤは最小になります。点Ｏ’は、上記で求めた
円Ｃ’の中心Ｒに他ならないので、その座標は（－８／５、１６／５）です。
直線ＤＲと直線ｌの交点を求めてください。それが求める点Ｑです。
　→図を描いてみると、△ＱＯＲがＱＯ＝ＲＱの二等辺三角形であること
　　が判ると思いますよ。

回答No.1

spring135

A(-2,1)B(2,3)を通る直線lと円 C:x^2+y^2=1について

(1)

y=(2/4)(x-2)+3=x/2+2

(2)

P(cost,sint)とすると

重心G(x,x)は

x=(2-2+cost)/3=cost/3

y=(1+3+sint)/3=(4+sint)/3

cost=3x

sint=3y-4

(sx)^2+(3y-4)^2=1

x^2+(y-4/3)^2=1/9

中心を(0,4/3),半径1/3の円

(3)円Cの直線lに関する対称点をR(p,q)とすると

C,Rの中央(p/2,q/2)はl上にあることから

q/2=(1/2)(p/2)+2

q=p/2+4 (1)

CRとlが直交することから

(q/p)(1/2)=-1

q=-2p (2)

(1)、(2)より

R(-8/5,16/5)

よって円C'は

(x+8/5)^2+(y-16/5)^2=1

(4)L=OQ+QD

Q(a,b), D(-2,0)

L=OQ+QD=√(a^2+b^2)+√(a+2)^2+b^2 (3)

Qがl上にあることから

b=a/2+2

これを(3)に代入しLをaの関数で表したのち

最小値を求めるため、dL/daを計算し、dL/da＝0となるaを求めればよい。

計算は非常に大変、質問者が一晩でできるものではない。

結果はa=-28/15の時、Lは最小値をとる。最小値の計算も面倒