方べきの定理の証明その２

質問

方べきの定理
点Ｐを通る２つの直線が、１つは円Ｏと点Ａ，Ｂで交わり、他の１つは点Ｃ，Ｄで交わるとき
PA・PB=PC・PD　の証明はできました。

しかし、ＡとＢが一致した場合の定理

点Ｐから円Ｏに２点Ｃ，Ｄで交わる直線ＰＣと接線ＰＡを引けば
PA^2 = PC・PD
の証明ができません。
どのように証明すればよいのでしょうか？
よろしくお願いします

回答No.2

debut · ベストアンサー

No1です。
　接弦定理がだめなら、それも織り交ぜてすればいいんでしょうかね？

例えば、
　Ａを通る円Ｏの直径ＡＥを引くと、∠ＥＡＰ＝90°・・(1)
　円周角の定理から、∠ＡＣ Ｅ＝90°・・(2)
　(1)から、∠ＰＡＣ ＝90°－∠Ｃ ＡＥ・・(3)
　(2)から、△ＡＥＣ で、∠ＡＥＣ ＝90°－∠Ｃ ＡＥ・・(4)
　(3),(4)から、∠ＰＡＣ ＝∠ＡＥＣ だが、∠ＡＥＣ は弧ＡＣ の円周角
　なので∠ＡＤＣ と等しいので、結局∠ＰＡＣ ＝∠ＡＤＣ ・・(5)
　△ＰＡＣ と△ＰＤＡにおいて、∠Ｐは共通・・(6)
　(5),(6)から、２組の角がそれぞれ等しいので、△ＰＡＣ ∽△ＰＤＡ
　よって、相似比、ＰＡ：ＰＣ ＝ＰＤ：ＰＡが成り立ち・・・

と、長くなっちゃいますね。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

debut

接弦定理が使えるなら、
∠ＰＡＣ＝∠ＰＤＡと∠Ｐは共通で、２組の角がそれぞれ等しいから、
△ＰＡＣ∽△ＰＤＡとなって証明できますが・・・