数値積分の問題（ガウス・ルジャンドルの公式）

質問

質問させていただきます

次の積分の数値積分を考える

I=∫[1→3] x/(x^2＋1)dx

積分値の近似値をガウス・ルジャンドルの２点公式を用いてあらわせ

ただし２次のルジャンドル多項式の零点を

t0, t1=-t0　として

t0を用いてあらわせ

どんな風にとけばいいのかさっぱり分かりません

あと数値解析の参考書でお勧めの一冊があれば教えていただけませんか？
今使ってる参考書難しいので・・・

回答No.1

USB99

３０年ほど前、せっせとこれで中性子の輸送方程式を解いていた時期がありました。
普通は、ｎ個の値からΣwi・f(xi)として加算して積分値を求めるとn-1次の多項式の積分について正しい値を得られますが、ガウスは特殊な点を選ぶと、2n-1次の多項式について正しい積分値を選べる事を見いだしました。その点とその時の重みをガウスのquadrature setと呼びます。後にその点は、ｎ次のLegndre関数の０点である事がわかりました。
したがって、この場合は、ｔ＝x-2とでもして[-1,1]の区間で積分するようにして、t=0.557とt=-0.557の値を足してあげればいいかと思います（n=2の時の重みは１ですので）。
でも、なにせ３０年前の話で、今はまったく関係ない仕事なので．．
違っていたらごめんなさい。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Legendre-GaussQuadrature.html