ガウス確率積分？

質問

超基本的なことを訊ねてしまいます、
ガウス確率積分（この名前で合ってるのかな？）
∫[0,∞]exp(-x^2)dx=√π/2
の解き方をすっかり忘れてしまいました。
確か領域に分けるとか二次元の二重積分とか…この程度しか覚えてないんです。
綺麗な解法をお教えください。プロセスをできるだけ詳しくお願いします。

回答No.1

sakura_214

exp(-x^2)型の関数をGauss型の関数と呼ぶので，質問の積分はGauss型積分などということが多いようです．

I=∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx
おくことにします．求めたい積分はexp(-x^2)が原点に関して対称なので，上の半分(I/2)の値です．この積分を求めるには，指摘どおりIを２次元化した下の二重積分
I_2=∫[x=-∞,∞]∫[y=-∞,∞]exp(-x^2-y^2)dxdy
を計算します．この積分は，
I_2=∫[x=-∞,∞]∫[y=-∞,∞]exp(-x^2)(-y^2)dxdy
=∫[x=-∞,∞]exp(-x^2)dx∫[y=-∞,∞](-y^2)dy
={∫[x=-∞,∞]exp(-x^2)dx}^2 （←積分変数をxで書いてもy書いても積分の結果は同じ）
=I^2
となっています．Jを計算するために直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に変数変換します．
x=r*cos(θ), y=r*sin(θ) ⇔ r=√(x^2+y^2), θ=Arctan(y/x)
よりヤコビヤンJ=rなので，
I_2=∫[r=0,∞][θ=0,2π]r*exp(-r^2)drdθ
=2π*∫[r=0,∞]r*exp(-r^2)dr
=-π*exp(-r^2)|_[r=0,∞]
=π → I=√π
となります．Gauss型積分は２次元にすることによって，被積分関数にrが出てくるので基本的な積分に帰着させることができます．

ちなみに積分区間を[0,x]としたものは，誤差関数（Erf(x)などと書く）といい，その値は数表等で与えられています．

お礼

円や正方形の領域分けが記憶にあったけどこちらの方が綺麗ですね、どうもありがとうございました！