数3の積分

質問

ａを定数とする。関数f(x)＝eのasinｘ乗cosｘに対して曲線Ｃ：y＝f(x)上の点（2/π　,　0)における法線の傾きがeの二乗である。ただしeは自然対数の底である。

(1)　ａの値を求めよ。
　　　　　　　π/2
(2)定積分∫　　f(x)dxの値を求めよ。
　　　　　　　0

なんかものすごく見にくくてごめんなさい。
暇な時にでもお願いします。

すいませんがもう一問あります。
　　　　　1
f(p)＝∫　(eのｘ乗－ｘ－ｐ)の二乗の最小値とその時のｐの値を求めよ。
　　　　　0

またまたみにくくてごめんなさい。

おねがいします！！

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

(1)
f(x)＝e^(asinｘ)*cosｘ
で良いですね? "^"は例えばA^BはAのB乗のこと
f'(x)=e^(asinx)*acosx*cosx-e^(asinx)*sinx
y=f(x)は（π/2,0)を通るので、(これで良いですか? π÷2の意味です。2/πなら分かりません。)
f(π/2)=e^(a*1)*0=0 なので題意を満たす。
（π/2,0)における接線の傾きがe^2なので、
f'(π/2)=e^(a*1)a*0^2-e^(a*1)*1=ーe^a<0<e^2 なので
題意を満たすaは存在しない(問題間違えてませんか?e^2に"-"とか付いてませんか。計算間違いしたかな?)
#1さんには申し訳ないですが、－ｅ^－2=-1/e^2なのでe^2ではありません。
傾きが-e^2であればa=2です。として解きます。

(2)a=2として解きます。積分の範囲は途中省略します。
t=2sinxとおくと
dt/dx=2cosxなので
cosxdx=1/2*dt∫　　
x 0→π/2
t 0→2
π/2
∫ f(x)dx
0
=∫e^(2sinｘ)*cosｘdx
2
=∫ e^t*(1/2)dt
0
=(1/2)[e^t]
=(e^2-1)/2

(3)範囲は全て省略します。
何で積分しているのですか?
dx?dp?多分dxですね。
f(p)=∫(e^x-x-p)^2dx
=∫(e^2x-2e^x(x+p)+(x+p)^2)dx
=[(e^2x)/2]-2∫e^x(x+p)dx+[(x+p)^3]/3
=(e^2-1)/2-2[e^x(x+p)]+∫e^xdx+(1+p)^3/3-p^3/3
=(e^2-1)/2-2{e(1+p)-p}+[e^x]+p^2+p+1/3
=(e^2-1)/2-2{e(1+p)-p}+(e-1)+p^2+p+1/3
=p^2-(2e-3)p+e^2/2-e-1/6
={p-(2e-3)/2}^2-e^2/2+2e-29/12

よってminf(p)=-e^2/2+2e-29/12
(p=e-3/2のとき)

計算間違いしてない自信はありません。この解き方を参考にして解いて見て下さい。自分で解くことによって力が付く。なんて言ってみたり。

お礼

回答ありがとうございます。
今からお二人の意見を参考に解いてみたいと思います。
頑張ります！！！
問題の打ち間違いをして紛らわしい事をしてしまいすみませんでした。

回答No.1

ageha18

とりあえず１問目の（１）。

法線の傾きがｅの２乗より、接線の傾きは　－１/ｅ^2＝－ｅ^－2

ｆ'(x)＝ｅ^asinx・ａ(ｃｏｓｘ)^2－ｅ^asinx・ｓｉｎｘ
　　　＝ｅ^asinx｛ａ(ｃｏｓｘ)^2－ｓｉｎｘ｝

π/2を代入すると
ｆ'(π/2)＝ｅ^a・(－1)＝－ｅ^a

これが（π/2,0)での接線の傾きなので、
－ｅ^a＝－ｅ^－2　　よってａ＝－２

分かりにくくてごめんなさい(+_+)

お礼

全然わかりにくくないです！
ありがとうございました。助かります★