単位元とか逆元とかの問題がわからなくて困ってます。

質問

ｐを素数とし、集合ＦをＦ={0,1,2…p-1}と定める。Ｆｎｏ元の和と積をｐに関する譲渡を用いて定める。すなわち、ｚがｘ＋ｙであるとは、ｚ＝ｘ＋ｙmodｐとなることで、ｚがｘｙであるとは、ｚ＝ｘｙmodｐとなることである。

このとき、
和に関する単位元ではないＦの元ｘに対して、積に関する逆元が存在することを示せ。

ヒントとして
『aとｂが互いに素な正の整数なら０≦ｃ＜ｂ、０≦ｄ＜aとなるｃとｄで「ca+db=1」となるものがある』
とあります。。

教えていただけると幸いです。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

薯蕷羹が鯛になるヤツですね。

フェルマーの小定理を証明するときに、
{ (a^n) mod p | n は自然数 } の要素数が p-1 であること
を使いますが、

この問題を解決するには、
{ (a n) mod p | n は自然数 } の要素数が p であること
を使えばよいでしょう。

ベズーの定理を使ってもよいのですが、
質問文中の『 』の形まで拡張してしまうと、
もうそれ以上付け足すところが残っていません。
補題というよりも、
題意をまんま言い換えた…という感じです。

回答No.1

rnakamra

ヒントを兼ねてこちらから質問。

>和に関する単位元ではないＦの元ｘに対して
和に対する単位元とは何ですか?

>積に関する逆元が存在する
積に関する逆元をyとするとx,yにはどのような関係がありますか?

これは問題を解くための最低限理解しておかないといけないことです。

>『aとｂが互いに素な正の整数なら０≦ｃ＜ｂ、０≦ｄ＜aとなるｃとｄで「ca+db=1」となるものがある』

「」の中は、ca-db=1ですね。これを使っていいのなら簡単です。この式のaにpを、bにxを入れてみればよいのです。

私ならフェルマーの小定理を使って示しますが。