行列の問題

質問

ac＝b^2とし行列

Ａ＝(５　-３)
　　２　０

Ｂ＝(３　０)
　　０　２

Ｐ＝(a b)
　　ｃ　ｄ

とＰの逆行列Ｐインバースを考える

(1)
Ｐ(インバース)ＡＰ＝Ｂを満たすa,b,cのうちで、正の整数であって最小のものを求めよ

(2)正の整数ｎに対して、Ｂ＾ｎとＡ＾ｎを求めよ

det(xE-A)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0
より、Ａの固有値は2と3

ＡＰ＝ＰＢ

ここから先がよくわかりません。

固有値を求めよというヒントだったので、出してみたのですが、ここからどうすればよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんばんは。

＞ac＝b^2とし行列

まず、この条件なんですけど、問題合っていますでしょうか？
ちょっと、この条件はずして考えていきますね。

(1)
P（インバーズ）のことを、P^(-1)と書くことにしますね。
P^(-1)AP=B
ですから、両辺左からPをかけて、AP=PB
実際、成分計算してみると、
　　　　5a-3c　　5b-3d
ＡＰ＝（　　　　　　　）
　　　　2a　　　　2b

　　　　3a　　　2b
ＰＡ＝（　　　　　　）
　　　　3c　　　2d

となるので、
2a=3c
b=dがいえます。

よって、
　　　3t　　u
Ｐ＝（　　　　）
　　　2t　　u

の形にかけます。

もし、ここで、ac=b^2という条件があれば、

6t^2=u^2
となるような整数(t,u)の組を探してくればいいのですが、
ちょっと難しいですね。
この条件がないものとすると、
　　　3　　1
Ｐ＝（　　　）
　　　2　　1

が条件を満たす最小の正の整数の成分を持つ行列Ｐとなります。

(2)
B=P^(-1)APより、

B^n=(P^(-1)AP)(P^(-1)AP)・・・(P^(-1)AP)
=P^(-1)A^nP
となりますね。
　　　3^n　　0
B^n=(　　　　　）
　　　0　　　2^n

ですから、

B^n=P^(-1)A^nPより、
A^n=PB^nP^(-1)

（１）で求めたＰに対して、これを計算してやれば、

　　　3^(n+1)-2^(n+1)　　　3^n^2^n
A^n=(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　　　-2*3^(n+1)+3*2^(n+1)　-2*3^n+3*2^n

のようになるのではないかな、と思います。
頑張ってくださいね。

****************************************

固有値が使われているのは、
(1)で実際成分計算しましたが、
固有値k=3,2を使うと、

　　　　　　5-k　　　-3
Ａ－ｋＥ＝（　　　　　　）
　　　　　　2　　　　-k

ですが、（Ａ－ｋＥ）ｘ＝０
となるベクトルは、

x=3t,y=2tと
x=u,y=u
の２つのベクトルになります。
それを、
　　　3t　　u
Ｐ＝（　　　　）
　　　2t　　u

のように利用できますので、固有値を求めるように指示が出ているんですね。
(1)のように実際成分計算からＰを求めても、どちらでもいいです。
頑張ってください。

お礼

ごめんなさい!!!m(__)m

=→≠でした。うっかりしました、微分の質問でも、＾2を書き忘れていました。
気をつけます。

ご回答は今からじっくり読んでみます(＾＾；
いっつも間違えててごめんなさい。

ありがとうございました。

補足

どうもありがとうございます。
成分を計算して求める方法はわかりました！

＞x=3t,y=2tと
x=u,y=u
の２つのベクトルになります。

下のやり方の方は、ここまではわかったのですが、
＞　　　3t　　u
Ｐ＝（　　　　）
　　　2t　　u
なぜこのようになるのでしょうか？

あと、固有値や固有ベクトルを使えるときというのは、Ｂが対角行列の場合だけなのでしょうか？
固有値は固有ベクトルは、対角化の手段と聞いたので、そうなのかなと思っているんですけど・・。
固有値とか固有ベクトルとかは独学でやっているんですけど難しいです(＾＾；

よろしくお願いしますm(。。)m

回答No.3

fushigichan

＃２です。お礼と補足ありがとうございます。

＞＞　　　3t　　u
Ｐ＝（　　　　）
　　　2t　　u
なぜこのようになるのでしょうか？

う～ん・・実際このときに、
P^(-1)APを計算してみると、
　　　3　0
Ｂ＝（　　）
　　　0　2

という対角行列になっています。
さて、何故そのような形になったかというと、
固有値は、２と３と出ましたので、

A-kEを計算してみると、

k=2のとき、
　3　-3
（　　）
　2　-2

k=3のとき、
　2　-3
（　　）
　2　-3

となりますよね。　　　　x
それに、任意のベクトル（　）
　　　　　　　　　　　　y
をかけて、０ベクトルになるには、ｘとｙの関係は、

k=2のとき、3x-3y=0より、x=y
つまりベクトルは(x,y)=(u,u)←すみません、書きにくいので横に書いていますが、
k=3のとき、2x-3y=0より、
ベクトルは、(x,y)=(3t,2t)
とおけるのです。
これらのベクトルを並べた行列が、Ｐになることを覚えておかれたらいいですよ。

＞固有値や固有ベクトルを使えるときというのは、Ｂが対角行列の場合だけなのでしょうか？

いえ、これは逆で、ある行列Ａの、固有値と固有ベクトルを求めれば、
それによって決まる行列をＰとすれば、

P^(-1)APは、必ず対角行列になって、

P^(-1)AP=B (B:対角行列）とおけます。
このことから、B^nは計算しやすいので、
A^nも簡単に求められる、ということになります。

＞固有値とか固有ベクトルとかは独学でやっているんですけど難しいです(＾＾；

ややこしいですね～。
しかし、このご質問での手法は、覚えておかれて絶対損はないです。
いきなり、固有値などを経ずに「Ａのｎ乗を求めよ」とはならないと思うので
同じような問題をあと２回くらい解けば、コツもつかめると思います。
頑張ってください！！

お礼

補足していただいて、どうもありがとうございますm(__)m

固有ベクトルの求め方がわかりました(＾＾)
それを並べてやるとＰになるんですね。
覚えておきます。
まだまだ難しくってよくわからないところがあるので、よく復習したいと思います。

アドバイス有り難うございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

noname#24477

対角行列を利用する問題。

ＰのインバースをＰ^-1と書くことにする。

B^nは簡単に計算が出来ます。順番にやってみればすぐわかります。

問題はＡ＾ｎです。
（Ｐ^-1ＡＰ）＾ｎ＝（Ｐ^-1ＡＢ）（Ｐ^-1ＡＢ）・・・（Ｐ^-1ＡＢ）
間のＰは消えてしまいますから
＝Ｐ^-1Ａ＾ｎＰ＝Ｂ＾ｎ
よってＡ^n＝ＰＢ^nＰ^-1
ここでＢ＾ｎは先に計算できていますからＡ＾ｎが求められる、
という方針です。

そうすると残る問題はＰをどうやって求めるか、になりました。
ＡＸ＝３Ｘ　となる列ベクトルＸをもとめます。
同じようにＡＹ＝２Ｙとなる列ベクトルＹを求めます。
ＸとＹを並べたものがＰになります。
Ｘ，Ｙを固有値に対して固有ベクトルといいます。
ＡＰ＝ＰＢを成分計算しても同じことです。

お礼

ありがとうございます！

Ｂ＾ｎは公式どおりで、
(３＾ｎ　０)
０　　　２＾ｎ

ですよね。

＞問題はＡ＾ｎです。
（Ｐ^-1ＡＰ）＾ｎ＝（Ｐ^-1ＡＢ）（Ｐ^-1ＡＢ）・・・（Ｐ^-1ＡＢ）
間のＰは消えてしまいますから
＝Ｐ^-1Ａ＾ｎＰ＝Ｂ＾ｎ
よってＡ^n＝ＰＢ^nＰ^-1
ここでＢ＾ｎは先に計算できていますからＡ＾ｎが求められる、
という方針です。

のところの、
＞Ａ^n＝ＰＢ^nＰ^-1
ＰとＰ＾-1がわからないと思うのですがＡ＾ｎが求められるのでしょうか？

補足

最初のところの条件ですが、＝→≠でした！
申し訳ありません。