三角関数

質問

f(x)=cosx+cos{√(2)x}
任意のxに対して
|f(x+6726π)-f(x)|＜0.002
を示せ。必要なら√2を小数第8位まで少数表記したものが1.41421356であること(第9位以下は不明)を使ってよい。

f(x+6726π)=cos(x+6726π)+cos{√(2)(x+6726π)}
=cosx+cos{√2(x+6726π)}
よって|f(x+6726π)-f(x)|=|cos{√(2)(x+6726π)}-cos{√(2)x}|
　　　　　 =|-2sin{√(2)(x+3363π)}sin3363√(2)π|
ここで-1≦sin{√(2)(x+3363π)}≦1より
|-2sin3363√(2)π|＜0.002を示せばよい。

ここまでは考えたのですがこの先がよくわからないです

どのように示すか教えてください

回答No.2

htms42

電卓を使いました。
３３６３√２＝４７５６．０００２１０・・・
∴ｓｉｎ(３３６３π√２)＝ｓｉｎ(π×０．０００２１０・・・）
　　　　　　　　　　　＝π×０．０００２１０・・・＜０．０００７
｜－２ｓｉｎ３３６３√(２)π｜＜０．００１４＜０．００２

√２の値が８桁で与えられているということは
４７５６．０００２までは分かるということだろうと思います。
ただ手計算でこれをやるとなると大変です。　
何か別の方法があるのでしょうか。

回答No.1

yskfr

＞ここで-1≦sin{√(2)(x+3363π)}≦1より
＞|-2sin3363√(2)π|＜0.002を示せばよい。

この方針は良くないのでは？？
|-2sin3363√(2)π|≒0.004946ですよ。

ただ酔っぱらってるので正確かわからないんですが単純に0になるように思うのですが気のせいでしょうか？

cos{√(2)(x+6726π)}-cos{√(2)x}を和積で一個にすると。sinの中身が引き算になってる方の項が√(2)(x+6726π)-√(2)x=6726πになってこれ2で割った値が3363π？だからsinの値が0になっちゃって積なんだから絶対値の中身が0になってしまうかと思います。

補足

√(2)(x+6726π)-√(2)x=√(2)(6726π)になるので
sinが０にならないんです