大学工学部レベルの確率分布の問題です

質問

独立した確率変数X，Yに関して，X～N(μ1，σ1＾2)およびY～N(μ2，σ2＾2)であるとき，X+Y～N（μ1+μ2，σ1＾2+σ2＾2）を次の順序で示せという問題です．

当方大学の工学部なのですが，確率は専門外＋授業もわからなかったためさっぱりわかりません．
ご教授お願いします．

○問題
独立した確率変数X，Yに関して，X～N(μ1，σ1＾2)およびY～N(μ2，σ2＾2)であるとき，X+Y～N（μ1+μ2，σ1＾2+σ2＾2）を次の順序で示せ．

１）X1～N(0，σ＾2)およびX2～N(0，1)であるとき，X1+X2～N（0，σ＾2+1）を示せ．

２）次に，X+Y＝σ2＾2（Z1+Z2）+μ1+μ2を示せ．ここで，
Z1～N(0，σ1＾2／σ2＾2)
Z2～N(0，1)
である．

３）X+Y～N（μ1+μ2，σ1＾2+σ2＾2）を，上の１）および２）の結果を用いて示せ．
この時正規分布のどんな性質を用いたのか明記すること．

よろしくお願いします．

回答No.1

Tacosan

1) は頑張って積分で示すのかな.
2) は
X～N(0, 1) ならば aX+b～N(b, a^2)
であることを示すんでしょうか (あるいはその逆か). これができれば
3)
はそのまま使うだけ.
とりあえず, 正規分布の確率密度関数が書けて, かつ定積分できれば何とかなります.