＃２の訂正です。
μx,μy=０の場合:
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
(x,y)→(t,s)と同時に、(-x,-y)→(t,s)の対応もあるので、
∬dxdy=2∬dsdtで、積分値を２倍しないといけなかった。
（極めて基本的なミス。。。こういう間違いはしないでね）
ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=2/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt。
tの確率密度関数は
f(t)=1/(2π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
z=√(s^2+t^2), (s>0)と変数変換して、２倍して、
f(t)=1/π∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
部分積分すれば、z=|t|での被積分関数の特異性が消える。
f(t)=1/π∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)。
積分区間を固定するために、z=|t|*xと変数変換してもよい。
f(t)=1/π∫log(x+√(x^2-1))*|t|*exp(-|t|x)*dx (1<x<∞)。
ただし、t≠0。f(t)はt→0で無限大に発散する。
ここからは検算。
∫f(t)dt, (-∞<t<∞,t≠0)
=2∫f(t)dt, (0<t<∞)
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*∫t*exp(-tx)*dt
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*(1/x^2), (1<x<∞)
=2/π∫dx/(x√(x^2-1)), （部分積分）
=2/π*lim Arctan(√(x^2-1)), (x→∞)
=2/π*π/2
=1
無事、1になった。
お礼
gef00675さん，ご回答ありがとうございます． うまく変数変換して他の分布で表現するんですね．大変勉強になりました．ただ，X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか疑問に思いました．ちょっと自分で確かめてみようと思います．ありがとうございました．