２階のテンソルの座標変換の式が分かりません

質問

正規直交座標系における２階のテンソルの座標変換（回転操作）について教えて下さい。
座標変換の行列をＡ
その転置行列をtＡ
座標変換前の２階のテンソルをＴ
座標変換後の２階のテンソルをＴ'
とすると、
Ｔ' ＝ Ａ Ｔ tＡ　　…式（１）
と表されるところまでは分かるのですが、これを成分で表すと
Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）
となるところが分からず困っています。
どう分からないのかと言いますと、
行列の積の計算には交換則ＡＢ＝ＢＡが成り立たないと習ったので、
なぜ式（１）のＴとtＡをひっくり返して式（２）の順番にして良いのかが分からないのです。
詳しい方お教え下さい。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

行列積の場合、
AB の第 (i,j) 成分は、(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j]
BA の第 (i,j) 成分は、(BA)[i,j] = Σ{k=1…n} B[i,k] A[k,j]
で、この二つは、確かに違います。

Σ があると見難いなら、n を限定して、例えば n = 4 のとき、
(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + A[i,3] B[3,j] + A[i,4] B[4,j]
(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + A[i,4] B[4,j]
を比較すればよいでしょう。

しかし、
(AB)[i,j] = B[1,j] A[i,1] + B[2,j] A[i,2] + B[3,j] A[i,3] + B[4,j] A[i,4]
と書いても式は変わらないので、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] と
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} B[k,j] A[i,k] とは同じものです。

Ｔ'ij ＝ａik Ｔkl ａjl と
Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl も同じ。

アインシュタイン記法を使うと、Σ をあからさまに書かないので、
かえって判り難いですね。

補足

ご回答ありがとうございます。
　ａik ｂki ＝ ｂki ａik
のお話は、確かに考えてみればおっしゃる通りで目から鱗が落ちました。
ありがとうございます。
お陰様で
　Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）
が出てくる前に
　Ｔ'ij ＝ａik Ｔkl ａjl　　…式（３）
があることまでは理解できました。

実は式（３）を見てもまだ分からないことが３点あります。
１点目はAkira_Oji様への補足にも書いたのですが、
　ａik Ｔkl ａlj
の形になっていれば行列の積の計算ができることを容易に理解できるのですが、
　ａik Ｔkl ａjl
ですとＴkl とａjl が列同士の内積をとるような形になるので、行列の積の定義とは違う計算になるのではないかと思うことです。

２点目は
　Ｔ' ＝ Ａ Ｔ tＡ　　…式（１）
からどうやって
　Ｔ'ij ＝ａik Ｔkl ａjl　　…式（３）
が出てくるか分からないことです。
座標変換後のテンソル成分の添字がijなので、座標変換行列の添字にiとjが含まれる要請があることは分かるのですが、
そもそも成分がａikである行列Ａの、転置行列であるtＡの成分はａkiではないのかという疑問が湧いてしまいます。

３点目は
　Ｔ' ＝ Ａ Ｔ tＡ　　…式（１）
が
　Ｔ'ij ＝ａik Ｔkl ａjl　　…式（３）
と表されることを了解し、
　Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）
と変形できるところまで了解したとして、
成分表示から再び元のＡやＴの表記に戻しますと
　Ｔ' ＝ Ａ tＡ Ｔ　　…式（４）
となり、今考えているのが正規直交座標系ですからＡ tＡ＝Ｅより、
　Ｔ’＝ Ｔ
になってしまうのではないかと思うことです。

恐らく、基本的な部分が理解できていないことによる誤解があるものと思いますが、
自分では何が理解できていないのか分かりません。
恐れ入りますが、お教え頂けますと幸いです。

回答No.6

Akira_Oji

（問）「Ａの成分表示がａikである場合、tＡをストレートに成分表示するとａkiになる気がします。」
（答）その通りです。

（問）「それが式（２）ではａjlと表されている、この間の事情がよく分かりません。
tＡはａkiとも表現できるが、積の計算定義に合わせて便宜的にａjlと表現していると理解すればよろしいでしょうか。」
（答）便宜的ではありません。
式（２）の「左辺」では添え字はｉとｊの２つだけです。「右辺」にはｉ，　ｊ，　ｋ，　ｌと４つの添え字があります。しかし、左辺と右辺は「＝」でつながれているので、「左辺」の添え字は「右辺」の添え字と同じでなければなりません。
Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）
式（２）では、添え字ｋとｌについて「和」をとることになっています。（アインシュタインの約束：　２度繰り返された添え字に関しては和をとる。）添え字ｋについて和をとるというのは、ｋを１から順番に変えながらそれらの項を足していくので、足した後は「添え字の意味がなくなっている。」
式（２）を順次元の意味に戻して考えていきましょう。
Ｔ'ij ＝ａik・ａjl・Ｔkl　　
＝(A)_ik・(A)_jl・(T)_kl

このなかの添え字でｋとｌに関しては和をとるので、「行列の積の意味を持たせるように和をとるには」掛ける２数のうち「最初の数の列の添え字」と「次の数の行の添え字」が一致するようにしなければなりません。
添え字ｋについては、(A)_ik の列と(T)_klの行がｋですから、これらを「隣同士」になるように並べ替えると
＝(A)_ik・(T)_kl・(A)_jl
よって、最初の２つの数については「行列の積」どおりの順序になっています。
つぎに、添え字「ｌ」に関しては、第３の数(A)_jl では「ｌ」は「列」の添え字ですが、前の(T)_klでも「列の位置」に「ｌ」があるので、「行列の積」どおりの順序になるように(A)_jl のほうを調節する必要があります。(A)_jl ＝(tA)_ljの関係を使えば
＝(A)_ik・(T)_kl・(tA)_lj
これで添え字の並びが整ったので、添え字ｋについて和をとると、
＝(AT)_il・(tA)_lj
添え字lについて和をとると、
＝(ATtA)_ij
となって添え字はiとｊだけになりました。したがって、「行列の積」になるように、掛ける因子の順序や添え字の位置を考えると自然と結果は一通りに決まってきます。

（問）「そしてもう一点、
Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）
は
Ｔ' ＝ Ａ (tＡ) Ｔ
の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。
そうするとＡは直交行列なので Ａ (tＡ) ＝ Ｅ となり、結局
Ｔ' ＝ Ｔ
になるような気がします。
どこが間違っているのでしょうか。」

（答)上述したように、この質問については、
「ＡとｔＡが隣り合った行列の積」のようには添え字は並んでいません。

お礼

ありがとうございました。
お陰様で全ての疑問が解決しました。

Ｔ' ＝ Ａ Ｔ (tＡ)
が
Ｔ' ＝ Ａ (tＡ) Ｔ
になって
Ｔ' ＝ Ｔ
になるのではないかとの話は、
そもそも行列の積の計算に交換則は成り立たないのであり得ませんでしたね。
成分の添字を気にしすぎる余り、基本的なことが見えていなかったと思います。
お恥ずかしい限りです。

途中からは当初の質問とは外れていたと思いますが、
私が理解するまでご親切にお付き合い頂き感謝しております。

回答No.5

arrysthmia

＞ Ａの成分表示がａikである場合、tＡをストレートに成分表示するとａkiになる気がします。
＞ それが式（２）ではａjlと表されている、この間の事情がよく分かりません。

tＡ の第 (i,k) 成分は、ａki で合っています。(l,j) 成分なら、ａjl です。

式（３）…　Ｔ'ij ＝ ａik Ｔkl ａjl　では、
Ａ の (i,k) 成分と Ｔ の (k,l) 成分を掛けて、k で Σ することで、
Ａ Ｔ の (i,l) 成分を求め、
それと tＡ の (l,j) 成分を掛けて、l で Σ することで、
Ａ Ｔ tＡ の (i,j) 成分を求めているのです。

No.2 で、AB = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j]　ではなく、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j]　と書いた理由なども考えてみてください。

＞ Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　は、
＞ Ｔ' ＝ Ａ (tＡ) Ｔ　の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。

駄目です。
Ａ (tＡ) Ｔ の成分表示なら、(i,j) 成分が ａip ａqp Ｔqk になります。
p, q をどのように置換しても、ａik ａjl Ｔkl と同じにはならない
ことを確認しておきましょう。実際に試してみれば判ります。

お礼

ありがとうございます。
自分の間違いに気付きました。
＞　tＡ の第 (i,k) 成分は、ａki で合っています。(l,j) 成分なら、ａjl です。
まさにその通りですよね。
ljはikとは関係のない、別の添字だということをうっかりしていました。

お忙しいところ、丁寧にお教え頂きありがとうございました。

回答No.4

Akira_Oji

第２回答者のArrysthmiaさんに説明していただいたように、テンソルの積も行列の積も基本的に同じです。

（繰り返しになりますが）
行列ＡとＢの積はＡＢのときは成分で書けば、ＡＢの(i,j)-成分はＡのk列成分とＢのk行成分を一致するように走らせて、
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
のように和を取ります。（arrysthmiaさんが説明されているものに同じ。）

さて、Ａの転置行列tAの(i,j)成分は
(ｔＡ)_ij=A_ji
これは転置行列の定義のようなものです。

ですから、ＴとtAの積T(tA)の(i,j)成分は
{T(tA)}_ij=Σ_{k} T_ik・(tA)_kj
ここで第２因子の(tA)_kjは上述の転置行列の定義により、A_jkに等しいので
{T(tA)}_ij=Σ_{k} T_ik・A_jk
となります。ここで第２因子の添え字の順序が入れ替わっています。

行列ＡとＢの積は順序が違えば、結果は異なってくるのは、ご存知の通りで（arrysthmiaさんが説明されているものに同じ。）成分で書けば
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
(BA)_ij=Σ_{k} B_ik・A_kj

行列ＡとＢの積では行列ＡとＢの順序を変えると結果は変わってきますが、行列成分の計算のなかで、例えば上述の
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
のなかでは成分の積A_ik・B_kjは単なる２数の掛け算ですから、順序を入れ替えてB_kj・A_ikとしてもいいわけですが、添え字はそのまま付いて行きます。
これが以前述べた「テンソルの要素ですから、ただの掛け算で、交換可能です」の意味です。これもarrysthmiaさんが説明されています。

補足

ご回答ありがとうございました。
積ＴＡは　ＴＡij ＝ Ｔik Ａkl　のようにＴの列の添字とＡの行の添字が一致していないと計算できないとの先入観がありました。
Ａは(tＡ)の転置行列ですから　Ｔik Ａjk ＝ Ｔik (tＡ)kj　なんですね。
ご丁寧に解説頂いたおかげでよく分かりました。
ありがとうございます。m(_ _)m

ところで、arrysthmia様のご回答への補足でもお聞きしている話ですが、
Ａの成分表示がａikである場合、tＡをストレートに成分表示するとａkiになる気がします。
それが式（２）ではａjlと表されている、この間の事情がよく分かりません。
tＡはａkiとも表現できるが、積の計算定義に合わせて便宜的にａjlと表現していると理解すればよろしいでしょうか。

そしてもう一点、
Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）
は
Ｔ' ＝ Ａ (tＡ) Ｔ
の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。
そうするとＡは直交行列なので Ａ (tＡ) ＝ Ｅ となり、結局
Ｔ' ＝ Ｔ
になるような気がします。
どこが間違っているのでしょうか。

お時間のある時によろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

ミスプリ：
(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + B[i,4] A[4,j]

回答No.1

Akira_Oji

式（２）の因子を並べ替えるだけです。これらはテンソルの要素ですから、ただの掛け算で、交換可能です。まず、第２因子を一番うしろにもってきます。

Ｔ'ij ＝ａik ａjl Ｔkl　　…式（２）

　　　　＝ａik Ｔkl　ａjl 　...（２’）

次に一般に元のテンソル要素は（A)_ij=aij　とき、
転置の要素は（ｔA)_ij=(A)_ji＝ajiなので、（２’）は

　　　　＝（A)ik Ｔkl　（ｔA)ｌｊ 　...（２’）

行列の積のように、これはｋとｌについての和がありますから、
AT(ｔA)
のことです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

補足

ご回答ありがとうございます。
恥ずかしながら自分の学力がご回答を理解できる域に達していないのでもう少しご説明をお願いします。

テンソルの要素が交換可能という部分ですが、これはつまり行列の積とは異なる演算をしているということでしょうか。
私は下記式（１）は行列の積の計算だと思っていました。
　Ｔ' ＝ Ａ Ｔ tＡ　　…式（１）
式（１）は正規直交座標系における２階のテンソルの回転変換に関するもので、
教科書（物理の教科書です）ではＴもＡも３×３行列で表記されていたからです。
ですから式（１）を成分で表した式（２）も当然行列の積の計算だと思っていました。
実は式（１）の計算自体が、行列の積とは違うものだと理解すればよろしいでしょうか？
今私が持っている教科書は式（１）が如何にも行列の積の計算だと思わせるような内容になっています。
何か参考になる本やサイトをご存知でしたらご紹介頂けませんか。

もう一点、
　ａik Ｔkl　ａjl 　...（２’）
　＝（A)ik Ｔkl　（ｔA)ｌｊ 　...（２’）
が行列の積のように扱えるという部分ですが、
　ａik Ｔkl ａlj
の形になっていれば行列の積の計算ができることを容易に理解できるのですが、
　ａik Ｔkl ａjl
ですとＴklとａjlが列同士の内積をとるような形になるので、私が習った行列の積の演算とは違うもののように感じてしまいます。

恐れ入りますが、もう少し初歩的な部分からご説明をお願いしますm(_ _)m。