演算子と座標変換

質問

まだ初歩の初歩なのですが、よろしくおねがいします。演算子Aも座標変換Tも行列で表しますが、なぜ演算子行列と座標変換行列はベクトルへの作用の仕方が違うんでしょうか？
　演算子はAX=X'という風にベクトルXに作用しますが、座標変換はなぜわざわざX'=T(転置)Xと表すんでしょう？TをTX=X'と定義しなおせば問題ないと思うのですが。

回答No.3

shiara · ベストアンサー

「座標変換はなぜわざわざX'=T(転置)Xと表すんでしょう」の意味がわかりませんので、適切な回答ができませんが（Tを転置しなければならないのなら、そもそものTは何なのでしょう）、演算子と座標変換との間には、密接な関係があります。
　運動量演算子Pxから、exp（iaPx/h'）という演算子を作ると（iは虚数単位、aはパラメータ、h'はプランク定数h/2π）、ｘ方向へaだけ座標系を平行移動させる座標変換になります。同様に、角運動量演算子Mxから、exp（iθMx/h'）という演算子を作ると、ｘ軸の周りにθだけ座標系を回転させる座標変換になります。
　exp（iaPx/h'）を無限の多項式に展開すれば明らかなように、作用するのは演算子Pxであり、座標変換も演算子も同じように作用をします。

お礼

とても勘違いでした（汗）演算子と座標変換にこんな関係あったなんて。もっと勉強します。ありがとうございました！

回答No.4

scale--free

No1の補足。（計算をトレースしてみてください。）

V,Wをベクトル空間として、T：V→Wを線形変換としましょう。 T を座標変換であると思ってください。
V=Wでいいのですが、あえて記号を変えてみました。

v ∈ V のWにおける座標というのは、
x'_j = < w_j , Tv > = < T'w_j , v >
となります。ここで、w_j はWのj番目の基底ベクトルで、T'はTの転置です。

いま、変換Tを
T v_j = Σ_{k} t_{kj}w_k
としましょう。 v_jはVのj番目の基底ベクトル。
添え字に注意しましょう。なぜ、t_{kj}をt_{jk}と書かないかは教科書に載っているはずです。

すると、転置の定義から
x'_j = Σ_{k} t_{jk} < v_k , v > = Σ_{k} t_{jk}x_k
となります。
これを数ベクトルとして並べると、
X' = T' X
となります。

問題は解決しましたが、なぜ転置になるかというのにはさらに深い理由があります。
それは、どちらかというと幾何学とも関連したことです。
No1のキーワードを元に調べてみるとよいかもしれません。

補足

T v_j = Σ_{k} t_{kj}w_kは間違いではありませんか？T v_j = Σ_{k} t_{kj}v_kだと思うんですが。

回答No.2

c7qkhsyu

具体的例ですが
Xが状態ベクトルのようなものとするなら
X'は対角行列*XでAX=X'は固有値方程式と見なせるのでは?シュレデンガー方程式などをイメージします。

X'=TXはローレンツ変換みたいな座標変換でしょう。
だから変換ですから何もしない変換とか逆変換など群が定義されていると思います。物理では線形変換です。

お礼

群、ですか…。まだよくわかりません。ご返答ありがとうございました。具体的例がわかりやすかったです。

回答No.1

scale--free

考え出すと難しい問題ですね。

答えは、座標（関数）は考えているベクトル空間 V の双対ベクトル（コベクトルとも言う）なので、
V が変換 T で変換されると、座標は T' (T' は T の転置）によって変換されてしまうのです。

詳しく説明したいのですが、理解の深度によるので、
まずは自ら調べてみることをお勧めします。

「双対ベクトル空間」、「双対ベクトル」とか、「コベクトル」とかというキーワードで検索したり、文献をあたるといいでしょう。

お礼

んー、聞いたことなかったです。調べてみます、ありがとうございました！