直交行列について

質問

Uが直交行列、その転置行列が t[U] のとき
　　t[U]U = E
となるのはよくわかるのですが
　　Ut[U] = E
となる理由がよくわかりません。行列の積の定義から当たり前のことではあるのですが Ut[U] の成分は正規直交基底ではないベクトル同士の内積になってしまいます。

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

#2です。

　図をつけ忘れました(^^;)。

お礼

丁寧な説明、まことにありがとうございました。

回答No.2

ddtddtddt

^tで転置を表します。
　#1さんの仰ってる事は、

　　等長変換　⇔　内積を不変に保つ線形変換

という関係から出発して線形変換の表現行列Ｕを求めてみると、直交行列Ｕ^t U＝Eが自然に出てきて、その計算過程でU Ｕ^t ＝Eである事も自然にわかる、という事だと思います（幾何学的な考え）。

　純代数的にやろうとすると、添付図の(1)と(2)になり、(2)は「なんだこれ？」って話だと思いますが(^^;)。ここでuiは縦ベクトルで正規直交基底です。
　 代数的に考えた場合、Ｕ^t U＝Eという条件を(2)に使う必要があります。一般に、Ｕ^t U＝U Ｕ^tは明らかですから。
　Ｕ^t U＝Eという条件は、(1)の最右辺と(3)の最左辺です（同じもの）。ここにδijはクロネッカーのデルタ。
　ui^t ujがスカラーである事に注意すると、左からuiをかけれます（(3)の柱辺）。必要部分だけ抜き出したのが、(3)の最右辺です。
　これを念頭にU Ｕ^tを(2)右辺で表し、それに任意のujをかけてみると、(3)の関係からU Ｕ^t uj＝ujなのがわかります。(4)です。
　[u1，u2，・・・，un}は基底でしたので、任意のuj，j＝1～nで(4)を満たす行列は、単位行列Eしかありません（代数的にゴリゴリ計算で導けます(^^)）。

　ちなみに幾何学的な計算過程で出てくる式は、(4)と同等なはずです。

回答No.1

tmpname

今、標準直交基底を< ve1, ve2, ve3> 、新しい正規直交基底を <vu1, vu2, vu3> とした時に（vはベクトルの意味で書きました）、

<vu1, vu2, vu3> = < ve1, ve2, ve3> U となっているのですが、これから
< ve1, ve2, ve3> = <vu1, vu2, vu3> (U^t)

となっています。つまり、 (U^t) というのは、正規直交基底を <vu1, vu2, vu3> と見た時の、元の標準直交基底< ve1, ve2, ve3> の成分表示となっている。
そうすると、 U (U^t)のij成分というのは、実は (vei・vej)を計算していることが分かる。

この辺は、 vuiを真面目に vui = Σ(1≦k≦3) (vui・vek) vek とおいて、つまり uij = Σ(1≦k≦3) (vui・vek) (vuj・vek)などとして、真面目に計算してみると事情がよくわかる。

お礼

丁寧な説明、まことにありがとうございました。