x^n+y^n=aによって円と正方形は同類となりますか

質問

nが２の時は円で、nを∞にすると正方形になるのでこの式が円と正方形をつなげているようにも思いますが、nが１の場合は直線になってしまうのであまり数学的には意味のないことかと思っています。数学的観点から何かご教示いただければ幸いです。

回答No.2

naozou · ベストアンサー

まず、nが偶数のときでないと、正方形に近づかないですね。
また、a=1の場合が、ちょうど円と外接する正方形の関係になるので、a=1と固定して考えます。

nを∞にする、というのは極限を取るという意味だとおもいますが、単純にx^n+y^n=1上の各点が、nを∞にしたときにy=±1、x=±1に近づくというのであれば、それはその通りだと思います。計算も難しくないでしょう。
円と（グラフ上の）正方形の関係であれば、そこで終わりだとおもいます。
正方形を、x^n+y^n=aの極限として定義しても、扱いにくいだけで、あまり
メリットがないとおもいます。

実は、自分も高校生のときに似たようなことを考えたことを考えたことあります。そのときは、多角形の極限と円でした。
結局、円の定義がどのようになっているか、ということを考えたら、あまり広がりのない疑問だなぁーと思った記憶があります。

回答No.1

arrysthmia

＞ nを∞にすると正方形に

…なるのは、a=1 の場合だけです。
x~n+y~n=a~n の間違では？

補足

aが１より大きければ一辺の長さ長くなるのではないでしょうか。